Из трех разных цифр a, b, c, отличных от 0, всевозможными перестановками составлены 6 трехзначных чисел. Пусть их наибольший общий делитель равен d.
а) Может ли быть d = 6?
б) Может ли быть d = 7?
в) Какое максимальное значение может иметь d? Найдите значения a, b, c, при которых d достигает максимального значения.
Сразу будем считать, что a > b > c.
а) Да. Для цифр 2, 4, 6 все шесть чисел будут кратны 6, при этом 
поэтому наибольший общий делитель действительно равен 6.
б) Нет. Если числа 
и 
кратны 7, то кратна 7 и их разность 9(b − c), поэтому b − c делится на 7. Аналогично a − c делится на 7. Но для каждой цифры найдется не более одной такой, разность с которой будет кратна 7.
в) Для цифр 4, 6, 8 все числа получаются четными и кратными 9. Поэтому они все делятся на 18, причем 
тогда наибольший общий делитель равен 18.
Допустим, что и кратны x. Тогда кратна x и их разность 9(b − c). Аналогично и 9(a − b) кратно x. Если x не делится на 3, то b − c кратно x, и потому 
Если x делится на 3, но не на 9, то 3(a − b) и 3(b − c) кратны x, поэтому
и 
Пусть теперь x делится на 9, то есть x = 9y. Тогда a − b и b − c делятся на y, при этом a + b + c делится на 9. Отсюда
поэтому 
Более того, если y = 4, то в предыдущем неравенстве должно быть равенство, поэтому 
откуда a = 1, b = 5, c = 9, но тогда a + b + c не кратно 9. Если y = 1 или y = 2, то 
Осталось разобрать случай y = 3. Заметим, что при y = 3 получим 
поэтому 
то есть 
и 
Это дает варианты 1, 4, 7; 2, 5, 8 и 3, 6, 9, из которых лишь в последнем сумма цифр кратна 9. Но, как нетрудно убедиться, число 963 не кратно 27, поэтому набора с наибольшим общим делителем 27 все же не существует.
Ответ: а) да; б) нет; в) 18.