Имеются зеленые и желтые карточки, всего их 80 штук. На каждой карточке написано натуральное число, а среднее арифметическое всех чисел равно 31. Все числа на желтых карточках разные. При этом любое число на желтой карточке больше любого числа на зелёной карточке. Числа на желтых карточках увеличили в 3 раза, после этого среднее арифметическое всех чисел стало равно 88.
а) Может ли быть ровно 50 желтых карточек?
б) Может ли быть ровно 15 зеленых карточек?
в) Какое наибольшее количество желтых карточек может быть?
Общая сумма чисел составляет 
Пусть было n зеленых карточек с суммой на них S и 
желтых карточек с суммой на них 
После утроения сумма чисел на желтых карточках также утроилась, поэтому 
откуда 
и 
Кроме того, можно изменить числа на карточках следующим образом: если среди чисел на зеленых карточках есть два, отличающихся больше чем на 1, можно увеличить меньшее из них и уменьшить большее из них на 1 — это не повлияет ни на сумму, ни на то, что все числа на желтых карточках больше, чем все числа на зеленых. Продолжая такие действия, можно добиться того, что числа на зеленых карточках принимают лишь два соседних натуральных значения (пусть это x и 
тогда 
поэтому на самом деле 
). Затем будем уменьшать наименьшее из чисел на желтых карточках и увеличивать наибольшее до тех пор, пока наименьшее не станет равно 
После этого будем изменять следующее по величине, пока оно не станет равно 
и так далее.
а) Поскольку 
будем брать в набор 20 семерок и 10 шестерок для записи на зеленых карточках, а также 8, 9, ..., 56 для записи на желтых. Сумма на желтых карточках будет равна 
и на последней желтой карточке можно будет написать 
б) Поскольку 
будем брать в набор 5 раз по 14 и 10 раз по 13 для записи на зеленых карточках, а также 15, 16, ...,78 для записи на желтых. Сумма на желтых карточках будет равна 
поэтому составить такой набор карточек нельзя.
в) Ясно, что с увеличением числа желтых карточек увеличивается и минимально возможное число (поскольку сумма меньшего количества чисел на зеленых карточках постоянна, то при меньшем их количестве максимальное из них будет больше), значит, увеличивается и требуемая сумма чисел на желтых карточках. В то же время она не должна превзойти 2280. Как уже было показано, что для 
сумма всех желтых, кроме одной, равна 1568, а для 
сумма равна 2976. Попробуем подобрать ответ.
Возьмем среднее между 50 и 65 количество — 57 желтых карточек и 23 зеленых. На них числа, максимальное из которых не меньше 
значит, минимальная сумма чисел на всех желтых, кроме одной, равна 
и можно добавить карточку с числом 180. Но это уже очень близко к нужному ответу.
Проверим 58 желтых карточек и 22 зеленых. На них числа, максимальное из которых не меньше 
то есть желтые карточки содержат числа, не меньшие 11, значит, минимальная сумма чисел на всех желтых равна 
поэтому столько желтых карточек взять нельзя.
Ответ: а) да; б) нет; в) 57.