СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 519585

а) Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных натуральных делителей (в число делителей числа n включается единица и само число n)?

б) Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.

в) Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных делителей?

Решение.

a) Например, число 60. Оно имеет ровно 12 делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Если число n можно разложить на простые множители: то количество натуральных делителей числа n равно Число делителей числа n обычно обозначают

б) Пусть Тогда n может иметь ровно два простых делителя, тогда или ровно один простой делитель, тогда Кроме того, исходное число делится на 2 и 7, поэтому второй случай невозможен и остается два варианта: и

в) Пусть Тогда, например, годится число

Действительно, оно кратно 2014 (так как делится на 2, 19 и 53) и имеет ровно делителей.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства