Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 628031

Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а

затем четыре полученных результата сложили.

а) Может ли полученная сумма равняться 386?

б) Может ли полученная сумма равняться 9,125?

в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 699?

Спрятать решение

Решение.

a) Да, например, для чисел 109, 110, 111 и 112 получаем  дробь: числитель: 109, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 110, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 111, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 112, знаменатель: 2 конец дроби =386.

б) Нет. Для того, чтобы полученная сумма равнялась  9,125= целая часть: 9, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 = дробь: числитель: 73, знаменатель: 8 конец дроби хотя бы для одного из чисел цифрой, на которую делят число, должна быть 8, причём, это число должно быть нечетным. Наименьшим из таких чисел является число 81, но тогда полученная сумма будет больше чем  дробь: числитель: 81, знаменатель: 8 конец дроби = целая часть: 10, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 =10,125, значит, полученная сумма не может равняться 9,125.

в) Обозначим полученную сумму S, тогда, если хотя бы одно из чисел будет делится на число 2 или больше 2, то S меньше 699 плюс 699 плюс 699 плюс дробь: числитель: 699, знаменатель: 2 конец дроби =2446,5. Рассмотрим случай, когда все исходные числа делятся на 1. Наибольшие четыре последовательных числа, содержащие в записи цифру 1, это — 616, 617, 618 и 619. Вычисленная для них сумма будет равна S= дробь: числитель: 616, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 617, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 618, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 619, знаменатель: 1 конец дроби =2470, что больше 2446,5. Значит, наибольшее целое значение, которое может принимать полученная сумма равно 2470.

 

Ответ: a) да; б) нет; в) 2470.

 

Приведем другое решение пунктов б) и в).

б) Нет. Заметим, что 9,125= целая часть: 9, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 , поэтому одно из слагаемых должно иметь знаменатель 8. Значит, одно из чисел должно содержать восьмерку, причем не на последнем месте (иначе число будет четным, дробь сократится на 2 и знаменателя 8 не получится). Тогда оно не меньше 80. Но тогда уже для него дробь будет не меньше  дробь: числитель: 80, знаменатель: 9 конец дроби , а остальные дроби не меньше единицы, поэтому сумма их будет не меньше  дробь: числитель: 80, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 больше 11 больше целая часть: 9, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 .

в) Заметим что четыре подряд наибольших числа, в каждом из которых есть единица, это 616, 617, 618, 619. Поделив кажде из них на 1, получим сумму 2470.

Если же хоть для одного числа для деления используется не единица, то сумма не превосходит

700 плюс 700 плюс 700 плюс дробь: числитель: 700, знаменатель: 2 конец дроби =2450 меньше 2470.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в3
Получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен2
Получен верный обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Санкт-Петербург. Вариант 2, Задания 18 ЕГЭ–2022
Классификатор алгебры: Числа и их свойства