В го­ро­де N живет 200 000 жи­те­лей. Среди них 15% детей и под­рост­ков. Среди взрос­лых жи­те­лей 45% не ра­бо­та­ет (пен­си­о­не­ры, сту­ден­ты, до­мо­хо­зяй­ки и т. п.). Сколь­ко взрос­лых жи­те­лей ра­бо­та­ет?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сим­фе­ро­по­ле за каж­дый месяц 1988 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 20 гра­ду­сов Цель­сия.

Ка­ко­го ра­ди­у­са долж­на быть окруж­ность с цен­тром в точке P (8; 6), чтобы она ка­са­лась оси ор­ди­нат?

В пер­вом банке один фунт стер­лин­гов можно ку­пить за 47,4 рубля. Во вто­ром банке 30 фун­тов  — за 1446 руб­лей. В тре­тьем банке 12 фун­тов стоят 561 рубль. Какую наи­мень­шую сумму (в руб­лях) при­дет­ся за­пла­тить за 10 фун­тов стер­лин­гов?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В ромбе ABCD угол ACD равен 43°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x)  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 111. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли хо­дить. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка за­сты­ла, до­стиг­нув от­мет­ки 10, но не дойдя до от­мет­ки 1 час.

Объем куба равен 52. Най­ди­те объем тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от него плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух ребер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны и па­рал­лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны.

Рас­сто­я­ние (в км) от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на не­боль­шой вы­со­те h ки­ло­мет­ров над землeй, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где (км)  — ра­ди­ус Земли. С какой вы­со­ты го­ри­зонт виден на рас­сто­я­нии 4 ки­ло­мет­ра? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям друг нав­стре­чу другу сле­ду­ют ско­рый и пас­са­жир­ский по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 65 км/⁠ч и 35 км/⁠ч. Длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна 700 мет­рам. Най­ди­те длину ско­ро­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он про­шел мимо пас­са­жир­ско­го по­ез­да, равно 36 се­кун­дам. Ответ дайте в мет­рах.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Длины ребер AB, AA₁ и AD пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равны со­от­вет­ствен­но 12, 16 и 15.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды A₁BDC₁ втрое мень­ше объ­е­ма па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A₁ до пря­мой BD₁.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Сто­ро­ны AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 26 и 14,5, а его вы­со­та BD равна 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние не имеет ре­ше­ний.

Длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка ― на­ту­раль­ные числа, а его пе­ри­метр равен 4000. Из­вест­но, что длина одной сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равна n% от длины дру­гой сто­ро­ны, где n  ― также на­ту­раль­ное число.

а)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

б)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что n < 100.