Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 11?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 5?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр, если первая цифра данного числа равна 7?
Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 
а) Получаем:
При 
равенство будет выполнено. Следовательно, 198 — один из возможных примеров.
б) Получаем:
Но 
следовательно, левая часть равенства не меньше 95, а правая часть не больше 36. Противоречие.
в) Число имеет вид 
необходимо найти наибольшее целое значение выражения 
Разберем случаи, когда 
(см. табл.). Для таких b и c наибольшее отношение равно 80.
| b | c |  |
|---|---|---|
| 0 | 1 |  |
| 0 | 2 |  |
| 1 | 0 |  |
| 1 | 1 |  |
| 2 | 0 |  |
При 
справедлива оценка
поэтому в этом случае наибольшее возможное отношение меньше 80. Следовательно, наибольшее возможное отношение достигается при 
оно равно 80.
Ответ: а) да; б) нет; в) 80.
Приведём решение пункта б) Дьяковой Дарьи (Москва).
Положим 
и запишем условие 
в виде 
По условию, S натуральное, а значит, число 
должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Наименьшее возможное значение S соответствует наименьшему 
поэтому 
С другой стороны, 
Полученное противоречие показывает, что среди трехзначных чисел, оканчивающихся нулем, искомого нет.
Рассмотрим числа оканчивающиеся на 5. В этом случае 
С другой стороны, 
Выпишем трехзначные числа, заканчивающиеся на 5, сумма цифр которых не меньше 21 и не больше 23. Получим
Примечание.
Пример числа, удовлетворяющего требованиям пункта а), единственный. Действительно, при 
левая часть равенства 
не меньше 89. А правая часть при 
не больше 79, при 
не меньше 90.
Другие пути решения аналогичных задач показаны нами в заданиях 563580 и 563659.