Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 563677

Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 11?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 5?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр, если первая цифра данного числа равна 7?

Спрятать решение

Решение.

Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.

а) Получаем:

 дробь: числитель: \overlineabc, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби =11 равносильно 100a плюс 10b плюс c=11a плюс 11b плюс 11c равносильно 89a=b плюс 10c.

При a=1, b=9, c=8 равенство будет выполнено. Следовательно, 198 — один из возможных примеров.

б) Получаем:

 дробь: числитель: \overlineabc, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби =5 равносильно 100a плюс 10b плюс c=5a плюс 5b плюс 5c равносильно 95a плюс 5b=4c.

Но a\geqslant1, b\geqslant0, c\leqslant9, следовательно, левая часть равенства не меньше 95, а правая часть не больше 36. Противоречие.

в) Число имеет вид 700 + 10b + c, необходимо найти наибольшее целое значение выражения  дробь: числитель: 700 плюс 10b плюс c, знаменатель: 7 плюс b плюс c конец дроби . Разберем случаи, когда b + c ≤ 2 (см. табл.). Для таких b и c наибольшее отношение равно 80.

 

bc дробь: числитель: 700 плюс 10b плюс c, знаменатель: 7 плюс b плюс с конец дроби
01 дробь: числитель: 701, знаменатель: 8 конец дроби
02 дробь: числитель: 702, знаменатель: 9 конец дроби
10 дробь: числитель: 710, знаменатель: 8 конец дроби
11 дробь: числитель: 711, знаменатель: 9 конец дроби = 79
20 дробь: числитель: 720, знаменатель: 9 конец дроби = 80

 

При b + c ≥ 3 справедлива оценка

 дробь: числитель: 700 плюс 10b плюс c, знаменатель: 7 плюс b плюс c конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 799, знаменатель: 10 конец дроби =79,9,

поэтому в этом случае наибольшее возможное отношение меньше 80. Следовательно, наибольшее возможное отношение достигается при b = 2, c = 0, оно равно 80.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 80.

 

 

Приведём решение пункта б) Дьяковой Дарьи (Москва).

Положим S = a плюс b плюс c и запишем условие  дробь: числитель: \overlineabc, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби = 5 в виде  S = дробь: числитель: \overlineabc, знаменатель: 5 конец дроби . По условию, S натуральное, а значит, число \overlineabc, должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Наименьшее возможное значение S соответствует наименьшему \overlineabc, поэтому S больше или равно дробь: числитель: 100, знаменатель: 5 конец дроби = 20. С другой стороны, S меньше или равно 9 плюс 9 плюс 0 = 18. Полученное противоречие показывает, что среди трехзначных чисел, оканчивающихся нулем, искомого нет.

Рассмотрим числа \overlineabc, оканчивающиеся на 5. В этом случае S больше или равно дробь: числитель: 105, знаменатель: 5 конец дроби = 21. С другой стороны, S меньше или равно 9 плюс 9 плюс 5 = 23. Выпишем трехзначные числа, заканчивающиеся на 5, сумма цифр которых не меньше 21 и не больше 23. Получим числа: 995, 985, 975, 895, 885, 795. Но каждое из найденных чисел при делении на 5 даст больше 23. Следовательно, среди трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, искомого тоже нет.

 

Примечание.

Пример числа, удовлетворяющего требованиям пункта а), единственный. Действительно, при a\geqslant1, b\geqslant0, с\leqslant9, левая часть равенства 89a=b плюс 10c не меньше 89. А правая часть при c меньше 8 не больше 79, при c больше 8 не меньше 90.

 

Другие пути решения аналогичных задач показаны нами в заданиях 563580 и 563659.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 563580: 563677 563659 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть С), Задания 19 ЕГЭ–2021
Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Методы алгебры: Перебор случаев