а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4, a бо­ко­вое ребро равно 2. Через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани AA₁BB₁ и се­ре­ди­ну ребра СС₁ про­хо­дит плос­кость α под углом 45° к плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну ВС.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ну М ребра ВС.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми  α и AB₁M.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 800 тыс. руб. на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года ( r  — целое число);

  —  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  —  в июле каж­до­го из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг дол­жен быть на какую-то одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

  —  в июле 2030 года долг дол­жен со­став­лять 500 тыс. руб.;

  —  в июле каж­до­го из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

  —  к июлю 2035 года кре­дит дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­вит 1780 тыс. руб. Най­ди­те, сколь­ко руб­лей со­ста­вит платёж в 2034 году.

На бо­ко­вых сто­ро­нах AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC со сто­ро­на­ми и от­ме­че­ны точки E и D со­от­вет­ствен­но так, что От­рез­ки AD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AOE и COD равно 14 : 3.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE.

Опре­де­ли­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

В про­дук­то­вом ма­га­зи­не есть весы с двумя ча­ша­ми. На одну чашу весов кла­дут толь­ко про­дук­ты, на дру­гую  — гири. На чашу для гирь можно по­ло­жить не­сколь­ко гирь. Ма­га­зи­ну раз­ре­ше­но про­да­вать толь­ко целое число ки­ло­грам­мов про­дук­тов.

а)  Можно ли не­ко­то­рым на­бо­ром из пяти гирь от­ве­сить любое целое число ки­ло­грам­мов от 1 до 25?

б)  Можно ли не­ко­то­рым на­бо­ром из че­ты­рех гирь от­ве­сить любое целое число ки­ло­грам­мов от 1 до 25?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние n такое, что любой вес от 1 до n ки­ло­грам­мов можно от­ве­сить каким-ни­будь на­бо­ром из 5 гирь.