Уста­нов­ка двух счётчи­ков воды (хо­лод­ной и го­ря­чей) стоит 3000 руб­лей. До уста­нов­ки счётчи­ков за воду пла­ти­ли 1100 руб­лей еже­ме­сяч­но. После уста­нов­ки счётчи­ков еже­ме­сяч­ная опла­та воды стала со­став­лять 700 руб­лей. Через какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ме­ся­цев эко­но­мия по опла­те воды пре­вы­сит за­тра­ты на уста­нов­ку счётчи­ков, если та­ри­фы на воду не из­ме­нят­ся?

Ма­га­зин де­ла­ет пен­си­о­не­рам скид­ку на опре­де­лен­ное ко­ли­че­ство про­цен­тов от цены по­куп­ки. Упа­ков­ка со­си­сок стоит в ма­га­зи­не 100 руб­лей. Пен­си­о­нер за­пла­тил за упа­ков­ку со­си­сок 92 рубля. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет скид­ка для пен­си­о­не­ров?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена олова на мо­мент за­кры­тия бир­же­вых тор­гов во все ра­бо­чие дни с 3 по 18 сен­тяб­ря 2007 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — цена тонны олова в дол­ла­рах США. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа цена олова на мо­мент за­кры­тия тор­гов впер­вые за дан­ный пе­ри­од стала равна 14900 дол­ла­ров США за тонну.

Для стро­и­тель­ства га­ра­жа можно ис­поль­зо­вать один из двух типов фун­да­мен­та: бе­тон­ный или фун­да­мент из пе­нобло­ков. Для фун­да­мен­та из пе­нобло­ков не­об­хо­ди­мо 2 ку­бо­мет­ра пе­нобло­ков и 4 мешка це­мен­та. Для бе­тон­но­го фун­да­мен­та не­об­хо­ди­мо 2 тонны щебня и 20 меш­ков це­мен­та. Ку­бо­метр пе­нобло­ков стоит 2450 руб­лей, ще­бень стоит 620 руб­лей за тонну, а мешок це­мен­та стоит 230 руб­лей. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить ма­те­ри­ал, если вы­брать наи­бо­лее де­ше­вый ва­ри­ант?

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 от­ме­че­ны точки A, B и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до пря­мой BC.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 20 би­ле­тов, в 11 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Ло­га­риф­мы". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме "Ло­га­риф­мы".

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке АВС угол А равен 41°, а углы B и C  — ост­рые, BD и CE  — вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке О. Най­ди­те угол DOE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f'(x)  — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 9). В какой точке от­рез­ка [2; 6] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Куб опи­сан около сферы ра­ди­у­са 6. Най­ди­те объём куба.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звёзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на-Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му где P  — мощ­ность из­лу­че­ния звез­ды,   — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь по­верх­но­сти звез­ды, а T  — тем­пе­ра­ту­ра. Из­вест­но, что пло­щадь по­верх­но­сти не­ко­то­рой звез­ды равна а мощ­ность её из­лу­че­ния равна Най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды в гра­ду­сах Кель­ви­на.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де все рёбра равны 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны бо­ко­вых рёбер.

До­ро­га между пунк­та­ми А и В со­сто­ит из подъёма и спус­ка, а её длина равна 19 км. Путь из А в В занял у ту­ри­ста 13 часов, из ко­то­рых 6 часов ушёл на спуск. Най­ди­те ско­рость ту­ри­ста на спус­ке, если она боль­ше ско­ро­сти на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [61; 63].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что угол мень­ше

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опи­са­на окруж­ность с цен­тром O. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку O от­ме­че­на точка K так, что BAC + AKC  =  90°.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник OBKC впи­сан­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка OBKC, если а

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в)  По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­щих через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?