а)  Разобьём мно­же­ство {100, 101, 102, ..., 199} на два мно­же­ства пя­ти­де­ся­ти­эле­мент­ных мно­же­ства сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Сумма чисел в этих двух под­мно­же­ствах оди­на­ко­ва, по­это­му ис­ход­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим. (Воз­мож­ны и дру­гие при­ме­ры.)

б)  За­ме­тим, сумма чисел в под­мно­же­стве, ко­то­рое будет со­дер­жать число будет боль­ше суммы чисел в дру­гом под­мно­же­стве, по­сколь­ку боль­ше суммы всех осталь­ных чисел:

Сле­до­ва­тель­но, мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} не яв­ля­ет­ся хо­ро­шим.

Дру­гое объ­яс­не­ние.

Одно из двух под­мно­жеств, на ко­то­рое мы хотим раз­бить ис­ход­ное мно­же­ство, будет со­дер­жать число 2. Тогда сумма чисел в этом под­мно­же­стве будет крат­на 2, но не крат­на 4, а сумма чисел во вто­ром под­мно­же­стве будет крат­на 4. Таким об­ра­зом, суммы чисел в под­мно­же­ствах не равны, и ис­ход­ное мно­же­ство не яв­ля­ет­ся хо­ро­шим.

Тре­тье объ­яс­не­ние.

По­лу­сум­ма всех чисел ис­ход­но­го мно­же­ства не­чет­на, а все эле­мен­ты четны, по­это­му на два мно­же­ства с не­чет­ной сум­мой ис­ход­ное мно­же­ство не раз­бить.

в)  За­ме­тим, что четырёхэле­мент­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим в двух слу­ча­ях: либо одно число яв­ля­ет­ся сум­мой трёх дру­гих, либо мно­же­ство со­дер­жит две пары чисел с рав­ны­ми сум­ма­ми.

Един­ствен­ное под­мно­же­ство мно­же­ства {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}, удо­вле­тво­ря­ю­щее пер­во­му слу­чаю,  — это {3; 4; 5; 12}. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет, по­сколь­ку сумма трёх чисел, от­лич­ных от 3, 4 и 5, будет боль­ше 12.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай и за­ме­тим, что если мно­же­ство со­дер­жит две пары чисел с рав­ны­ми сум­ма­ми, то сумма всех чисел чётна. Сле­до­ва­тель­но, не­чет­ные числа 3 и 5 либо од­но­вре­мен­но вхо­дят в хо­ро­шее четырёхэле­мент­ное под­мно­же­ство, либо од­но­вре­мен­но не вхо­дят в него.

Если 3 и 5 вхо­дят в под­мно­же­ство, то либо сумма двух дру­гих чисел равна 8 (что не­воз­мож­но), либо раз­ность двух дру­гих чисел равна 2. По­лу­ча­ем хо­ро­шие под­мно­же­ства:

Если 3 и 5 не вхо­дят в под­мно­же­ство, то хо­ро­шее под­мно­же­ство лежит во мно­же­стве {4; 6; 8; 10; 12}. По­лу­ча­ем хо­ро­шие под­мно­же­ства:

Всего най­де­но 8 хо­ро­ших под­мно­жеств: {3; 4; 5; 12}, {3; 4; 5; 6}; {3; 5; 6; 8}; {3; 5; 8; 10}; {3; 5; 10; 12}, {4; 6; 8; 10}; {4; 6; 10; 12}; {6; 8; 10; 12}. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  8.