Для любого натурального числа n (n ≥ 1) обозначим через O(n) количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа. Например, O(123) = 2, а O(2048) = 0.
а) Существует ли такое натуральное число n, что O(4 · n) = O(n) + 2?
б) Существует ли такое натуральное число n, что O(5n + 2n + 1 − 2) > n?
в) Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство O(11 · n) = O(n) + 2?
а) Да. Например, при n = 44 имеем
б) Для любого натурального n имеем 
поскольку
Значит, в числе 
не более n цифр. Следовательно, 
и искомого значения n не существует.
в) Если 1 ≤ n ≤ 9, то
Если 10 ≤ n ≤ 19 и n чётно, то O(n) = 1, а число 11 · n чётное и трёхзначное. Отсюда получаем, что в этом случае
Если 10 ≤ n ≤ 19 и n нечётно, O(n) = 2, а число 11 · n трёхзначное. Отсюда получаем, что в этом случае
Если 20 ≤ n ≤ 27 и n чётно, то все цифры чисел n и 11 · n также чётные. Отсюда получаем, что в этом случае
Если 20 ≤ n ≤ 27 и n нечётно, то 200 < 11 · n < 300. Отсюда получаем, что в этом случае первая цифра трёхзначного числа 11 · n равна 2 и
При n = 28 имеем
При n = 29 имеем
Значит, искомое наименьшее значение n равно 29.
Ответ: а) да; б) нет; в) 29.