СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 508112

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 2, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10?

в) Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Решение.

а) Девочки играют 8 партий против мальчиков (каждая по 4), и максимальное число очков, которое они могут набрать в них, это 8. Друг с другом девочки играют 2 партии, сумма очков, которые разыгрываются в этих партиях, равна 2. Поэтому наибольшее количество очков равно

б) Если каждый играет с каждым по два раза, то состоится 18 туров, в каждом из которых играется по 5 партий. В каждой разыгрывается 1 очко, поэтому сумма всех набранных очков равна 90.

в) Докажем, что девочек может быть сколько угодно. Пусть мальчиков и девочек поровну: мальчиков и девочек. Тогда в двухкруговом турнире состоится партий между мальчиками и партий между девочками. Всего партий в этом турнире будет , поэтому партий между мальчиками и девочками будет Пусть девочки набрали в этих партиях очков. (Например, каждая девочка сыграла с одним из мальчиков вничью, а остальным проиграла). Тогда общее количество очков, набранных девочками, равно Общее количество очков, набранных мальчиками равно Таким образом, мальчики набрали втрое больше очков, чем девочки.

 

Ответ: а) 10; б) 90; в) все натуральные числа.


Аналоги к заданию № 505570: 508112 507244 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства