Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 508112

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 2, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10?

в) Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Спрятать решение

Решение.

а) Девочки играют 8 партий против мальчиков (каждая по 4), и максимальное число очков, которое они могут набрать в них, это 8. Друг с другом девочки играют 2 партии, сумма очков, которые разыгрываются в этих партиях, равна 2. Поэтому наибольшее количество очков равно 8 плюс 2=10.

б) Если каждый играет с каждым по два раза, то состоится 18 туров, в каждом из которых играется по 5 партий. В каждой разыгрывается 1 очко, поэтому сумма всех набранных очков равна 90.

в) Докажем, что девочек может быть сколько угодно. Пусть мальчиков и девочек поровну: d мальчиков и d девочек. Тогда в двухкруговом турнире состоится d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка партий между мальчиками и d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка партий между девочками. Всего партий в этом турнире будет 2d левая круглая скобка 2d минус 1 правая круглая скобка , поэтому партий между мальчиками и девочками будет 2d левая круглая скобка 2d минус 1 правая круглая скобка минус 2d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка =2d в квадрате . Пусть девочки набрали в этих партиях d/2 очков. (Например, каждая девочка сыграла с одним из мальчиков вничью, а остальным проиграла). Тогда общее количество очков, набранных девочками, равно d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка плюс d/2=d левая круглая скобка d минус 1/2 правая круглая скобка . Общее количество очков, набранных мальчиками равно d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка плюс 2d в квадрате минус d/2=3d левая круглая скобка d минус 1/2 правая круглая скобка . Таким образом, мальчики набрали втрое больше очков, чем девочки.

 

Ответ: а) 10; б) 90; в) все натуральные числа.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 505570: 508112 507244 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства