СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 508112

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за про­иг­рыш — 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m = 2, d = 2?

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10?

в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

Ре­ше­ние.

а) Де­воч­ки иг­ра­ют 8 пар­тий про­тив маль­чи­ков (каж­дая по 4), и мак­си­маль­ное число очков, ко­то­рое они могут на­брать в них, это 8. Друг с дру­гом де­воч­ки иг­ра­ют 2 пар­тии, сумма очков, ко­то­рые разыг­ры­ва­ют­ся в этих пар­ти­ях, равна 2. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков равно

б) Если каж­дый иг­ра­ет с каж­дым по два раза, то со­сто­ит­ся 18 туров, в каж­дом из ко­то­рых иг­ра­ет­ся по 5 пар­тий. В каж­дой разыг­ры­ва­ет­ся 1 очко, по­это­му сумма всех на­бран­ных очков равна 90.

в) До­ка­жем, что де­во­чек может быть сколь­ко угод­но. Пусть маль­чи­ков и де­во­чек по­ров­ну: маль­чи­ков и де­во­чек. Тогда в двух­кру­го­вом тур­ни­ре со­сто­ит­ся пар­тий между маль­чи­ка­ми и пар­тий между де­воч­ка­ми. Всего пар­тий в этом тур­ни­ре будет , по­это­му пар­тий между маль­чи­ка­ми и де­воч­ка­ми будет Пусть де­воч­ки на­бра­ли в этих пар­ти­ях очков. (На­при­мер, каж­дая де­воч­ка сыг­ра­ла с одним из маль­чи­ков вни­чью, а осталь­ным про­иг­ра­ла). Тогда общее ко­ли­че­ство очков, на­бран­ных де­воч­ка­ми, равно Общее ко­ли­че­ство очков, на­бран­ных маль­чи­ка­ми равно Таким об­ра­зом, маль­чи­ки на­бра­ли втрое боль­ше очков, чем де­воч­ки.

 

Ответ: а) 10; б) 90; в) все на­ту­раль­ные числа.


Аналоги к заданию № 505570: 508112 507244 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства