Ком­мен­та­рий к усло­вию за­да­чи: в усло­вии за­да­чи ни­че­го не ска­за­но про то, ка­ки­ми яв­ля­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­ты m и k квад­рат­но­го трех­чле­на. Ис­хо­дя из ав­тор­ских от­ве­тов, ниже при­ве­де­ны ре­ше­ния для слу­чая, когда m и k  — целые числа.

Пусть корни равны a и b. По тео­ре­ме Виета, и ab  =  k.

а)  Число 6 можно за­пи­сать в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных сла­га­е­мых двумя спо­со­ба­ми 6  =  1 + 5  =  2 + 4, тогда k  =  5 или k  =  8.

б)  Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде ab + a + b  =  45, то есть ab + a + b + 1  =  46, (a + 1)(b + 1)  =  46. Оба мно­жи­те­ля  — на­ту­раль­ные числа, не мень­шие двух, по­это­му они равны 23 и 2. Зна­чит, числа a и b равны 22 и 1, а тогда m  =  −(1 + 22)  =  −23.

в)  За­пи­шем урав­не­ние в виде Числа и k + m имеют оди­на­ко­вую чет­ность, по­это­му они оба четны. При этом пер­вое число боль­ше (по­сколь­ку m < 0). Зна­чит, либо k + m  =  26, от­ку­да m  =  −30, k  =  56 и урав­не­ние x² − 30x + 56  =  0 имеет корни 2 и 28, либо k + m  =  2, от­ку­да m  =  −558, k  =  560 и урав­не­ние x² − 558x + 560  =  0 не имеет на­ту­раль­ных кор­ней.

Ответ: а)  5 или 8; б)  −23; в)  2 и 28.