СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 519664

а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

в) Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом которых значение выражения будет наименьшим.

Решение.

а) Поскольку число лежит в отрезке длина которого равна Следовательно, расстояние от до какого-то из концов отрезка не больше половины его длины. Поэтому числа m и n суть числа 28 и 20 или числа 71 и 50 соответственно. Тем самым, искомые числа существуют.

 

Примечание.

Заметим, что лежит правее точки 1,41 — середины отрезка Поэтому, Следовательно, числа 71 и 50 являются искомым примером.

 

Приведем другое решение пункта а).

а) Заметим, что из неравенства следует, что

 

а значит, откуда

Пусть, например, тогда Следовательно, двузначные числа и удовлетворяют исходному неравенству.

 

б) Докажем, что таких m и n не существует. Доказательство проведём от противного. Пусть существуют двузначные числа m и n, для которых выполняется неравенство Тогда

 

 

Так как по условию , из последнего неравенства получаем

 

 

откуда Следовательно, Противоречие.

 

Приведем другое решение пункта б).

Умножим обе части неравенства на получим

 

 

Так как по условию , из последнего неравенства получаем

 

 

откуда Следовательно, Противоречие.

 

в) С увеличением n значение выражения уменьшается. Так как при значение выражения больше , при — меньше и значение равно расстоянию от до наименьшее значение это выражение принимает при или

При получаем:

 

а при получаем

 

Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение выражение принимает при

 

Приведем решение Евгения Обухова (Москва)

 

а) Нас спрашивают про хорошее приближение числа рациональной дробью, состоящей из двузначных чисел. Искать его следует среди подходящих дробей. Хорошо известно (и легко выводится) представление числа в виде бесконечной цепной дроби:

 

Найдём момент, когда подходящая дробь состоит из двузначных чисел:

 

Такого приближения, конечно, хватит в виду известной теоремы (подходящие дроби "хорошо приближают":):

 

 

(В принципе, требуемое неравенство легко проверяется и непосредственно, поскольку для корня из двух первые две цифры после запятой хорошо известны: , а то, что проверяется делением в столбик за несколько секунд.)

 

 

в) Требуется минимизировать выражение . Снова рассматриваем разложение приближаемого числа в цепную дробь (которое легко получается из приведённого ранее разложения переносом единицы из правой части в левую):

 

Заметим, что уже одна из первых подходящих дробей нас вполне устраивает:

 

Имеем: , это как раз нужный нам числитель. А т.к. подходящие дроби в принципе приближают очень хорошо, то можно надеяться, что нужное нам найдено (). И это действительно, очевидно, так:

 

То есть дробь находится весьма близко к числу . И ясно, что оставшиеся наиболее близкие дроби (из доступных нам, с числителем ): и находятся от числа дальше.

(В частности, это можно проверить непосредственно: , и т.к. , то дробь выпадет из окрестности , в которой дробь , в свою очередь, находится. Аналогично с дробью , там соответствующая разность , очевидно, ещё больше.)

 

б) Предположим, что такие и существует. Тогда с помощью формулы разности квадратов преобразуем данное в условии неравенство в привычный нам вид:

 

То есть дробь обязана быть очень близкой к , поэтому оценку можно легко улучшить вдвое:

 

(Т.к., напомним, .)

 

Последнее неравенство означает, что дробь — подходящая дробь числа (по теореме о том, что из неравенства следует, что несократимая дробь является подходящей дробью числа ).

 

Т. к. подходящая дробь с большим номером приближает лучше, чем подходящая дробь с меньшим номером, то в нашем случае (числитель и знаменатель — двузначные числа) лучше всего приближает дробь:

 

 

Осталось убедиться, что неравенство не выполняется, что приводит к противоречию. Это легко делается на "калькуляторе".

 

Можно, впрочем, обойтись и без "калькулятора". Приблизим корень из двух более хорошей подходящей дробью. Скажем, дроби хватит, т.к. . Вычисления в столбик довольно быстро дают нам десятичные представления: , , то есть довольно значимое различие на как раз пятом знаке после запятой (). Имеем (с помощью неравенства треугольника):

 

 

Что и требовалось для получения противоречия.

Источник: ЕГЭ — 2018. До­сроч­ная волна. Резервный день 11.04.2018. Запад (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства