а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны  5. На его ребре AA₁ от­ме­че­на точка M так, что A₁M  =  3. Через точки M и B₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная AC₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от вер­ши­ны D₁.

б)  Най­ди­те объем боль­шей из двух ча­стей куба, на ко­то­рые он де­лит­ся плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пла­ни­ру­ет­ся по­стро­ить новый завод, ко­то­рый еже­год­но будет вы­пус­кать x тыс. ед. про­дук­ции, при­чем за­тра­ты на про­из­вод­ство этого ко­ли­че­ства про­дук­ции со­ста­вят млн руб. в год. Кроме того пла­ни­ру­ет­ся, что транс­порт­ные рас­хо­ды на до­став­ку про­дук­ции до места ре­а­ли­за­ции со­ста­вят x + 24 млн руб. в год. После про­да­жи про­дук­ции (x тыс. ед.) по цене p тыс. руб. (где p  — целое число) за еди­ни­цу еже­год­ная при­быль за­во­да (в млн руб.) со­ста­вит раз­ность между по­лу­чен­ной сум­мой денег и сум­мар­ных за­трат по про­из­вод­ству про­дук­ции и транс­порт­ных рас­хо­дов. При каком наи­мень­шем зна­че­нии  p стро­и­тель­ство за­во­да оку­пит­ся не более, чем за 6 лет, если рас­хо­ды по его стро­и­тель­ству оце­ни­ва­ют­ся в раз­ме­ре 150 млн руб.?

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС от­ме­че­ны: H  — точка пе­ре­се­че­ния высот, О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, A₁  — се­ре­ди­на BC. Луч A₁H пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC в точке D, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что OH пер­пен­ди­ку­ляр­на DA₁.

б)  Пусть до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что опи­сан­ная окруж­ность около тре­уголь­ни­ка ОНА₁ ка­са­ет­ся АН. Най­ди­те угол между пря­мы­ми AA₁ и BC.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Даны два на­бо­ра чисел: в пер­вом на­бо­ре каж­дое число равно  175, а во вто­ром каж­дое число равно  80. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел двух на­бо­ров равно  145.

а)  Каж­дое число пер­во­го на­бо­ра умень­ши­ли на на­ту­раль­ное число n. Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел двух на­бо­ров быть равно  132?

б)  Каж­дое число пер­во­го на­бо­ра умень­ши­ли на на­ту­раль­ное число m. Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел двух на­бо­ров быть равно  135?

в)  Каж­дое число од­но­го на­бо­ра уве­ли­чи­ли на на­ту­раль­ное число k, од­но­вре­мен­но умень­шив на k каж­дое число дру­го­го на­бо­ра, при усло­вий, что все числа оста­лись по­ло­жи­тель­ны­ми. Какие целые зна­че­ния может при­ни­мать сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел двух на­бо­ров?