Пусть 
обозначает двузначное число, равное 
где a и b — цифры, 
а) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что 
б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что 
если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение 
если среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 6?
а) Да. Действительно, поскольку
нужно подобрать такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что 
Это верно, например, при 
и 
б) Докажем, что это невозможно. Имеем
Значит, если то 
и 
Если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5, то одно из произведений ac или bd делится на 5, а значит, и другое произведение тоже делится
в) Как показано выше,
Чтобы полученное число было наибольшим, возьмём a = 9, c = 9, b = 5, d = 6, тогда
99 · (9 · 9 − 5 · 6) = 99 · 51 = 5049.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5049.
Примечание.
Авторам задачи, возможно, следовало бы дополнить пункт в) фразой «где цифры a, b, c и d попарно различны». Для такого условия рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр a, b, c и d есть цифры
Если цифры 5 и 6 — это a и c, то 
Если цифры 5 и 6 — это b и d, то 
Если цифра 5 — это a или c, а цифра 6 — это b или d, то 
Если цифра 6 — это a или c, а цифра 5 — это b или d, то
Значит, наибольшее возможное значение выражения 
равно 
оно достигается при 
и 
В пункте в) ведь не написано, что цифры a, b, c, d различные и ненулевые. Если они могут быть одинаковыми, то: пусть цифры 5 и 6 — это b и d, тогда ac−bd ≤ 9·9−5·6 = 51, и ответ 99·51 = 5049.
Если разрешить цифры a, b, c, d равные нулю, то если цифра 6 — это a или c, а цифра 5 — это b или d, то ac−bd≤6·9−5·0=54 и ответ 5346. Но можно ли так делать, я не уверен, т. к. числа с нуля начинаться не могут, а каждая из цифр a, b, c, d появляется по одному разу в начале числа.
Подкорректировали решение для случая равных чисел. С нуля числа не должны начинаться.