а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де точка M се­ре­ди­на ребра C₁D₁, а точка K делит ребро AA₁ в от­но­ше­нии Через точки K и M про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD и пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль A₁C в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит диа­го­наль A₁C в от­но­ше­нии

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью (АВС), если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ― куб.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Па­рал­ле­ло­грамм и окруж­ность рас­по­ло­же­ны так, что сто­ро­на AB ка­са­ет­ся окруж­но­сти, CD яв­ля­ет­ся хор­дой, а сто­ро­ны DA и BC пе­ре­се­ка­ют окруж­ность в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABQP можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка DQ, если из­вест­но, что AP  =  a, BC  =  b, BQ  =  c.

Дмит­рий взял кре­дит в банке на сумму 270 200 руб­лей. Схема вы­пла­та кре­ди­та та­ко­ва: в конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет на 10  про­цен­тов остав­шу­ю­ся сумму долга, а затем Дмит­рий пе­ре­во­дит в банк свой оче­ред­ной пла­теж. Из­вест­но, что Дмит­рий по­га­сил кре­дит за три года, при­чем каж­дый его сле­ду­ю­щий пла­теж был ровно втрое боль­ше преды­ду­ще­го. Какую сумму Дмит­рий за­пла­тил в пер­вый раз? Ответ дайте в руб­лях.

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ре­ше­ния на от­рез­ке

Дано квад­рат­ное урав­не­ние где a, b и c  — на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 100. Также из­вест­но, что числа a, b и c по­пар­но от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень –7?

б)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень –53?

в)  Какой наи­мень­ший целый ко­рень может иметь такое урав­не­ние?