а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра BC  =  8, CD  =  3, BB₁  =  6. Точка Q  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стя­ми BD₁Q и ABC равен

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до плос­ко­сти BD₁Q.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

16 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму на 21 месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  на 15‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца с 1‐⁠го по 20‐⁠й долг дол­жен умень­шать­ся на 6 тысяч руб­лей;

—  к 15‐⁠му числу 21‐⁠го ме­ся­ца долг дол­жен быть по­га­шен пол­но­стью.

Сколь­ко тысяч руб­лей дол­жен со­став­лять долг на 15‐⁠е число 20‐⁠го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 187,8 тысяч руб­лей?

В тре­уголь­ни­ке ABC ме­ди­а­ны AA₁, BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки K, L, M при­над­ле­жат от­рез­кам AA₁, BB₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но, при­чем AK  =  KA₁, BL : LB₁  =  1 : 4, CM : MC₁  =  1 : 3. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 200.

а)  До­ка­жи­те, что OL : BB₁  =  7 : 15.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 2].

На­ту­раль­ное число будем на­зы­вать сим­мет­рич­ным, если оно сов­па­да­ет с чис­лом, за­пи­сан­ным теми же циф­ра­ми в об­рат­ном по­ряд­ке.

а)  Будет ли сим­мет­рич­ное число с чет­ным ко­ли­че­ством цифр де­лить­ся на 11?

б)  К трех­знач­но­му числу при­пи­шем спра­ва это же число. Будет ли по­лу­чен­ное ше­сти­знач­ное число точ­ным квад­ра­том?

в)  Какие ше­сти­знач­ные сим­мет­рич­ные числа де­лят­ся на 77? Сколь­ко всего таких чисел?