ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип Д8 C1 № 670855

i

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка в квадрате минус синус 2x, знаменатель: косинус в степени 4 x плюс \dfrac14 синус в квадрате 2x конец дроби = 2.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 14 № 670856

i

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S на ребрах AB, BC и SC отмечены точки K, L и M соответственно. Известно, что AK : KB  =  BL : LC  =  2 : 1, SM : MC  =  7 : 1.

а)  Докажите, что плоскость KLM проходит через середину ребра SD.

б)  Найдите угол между плоскостью KLM и плоскостью основания пирамиды, если высота пирамиды равна диагонали основания.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 670858

i

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате минус x минус 6, знаменатель: x плюс 1 конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в кубе минус x в квадрате минус 5x плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби минус 3 правая круглая скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 16 № 670859

i

Петр Петрович владеет акциями, которые стоят k² тыс. рублей в конце года k, $k = 1, 2, \ldots.$ В конце любого года он может их продать и положить деньги в банк под определенный процент, в результате чего сумма каждый год будет увеличиваться в 1 + p раз. Петр Петрович хочет продать акции в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого Петр Петрович должен продать акции строго в конце семнадцатого года. При каких положительных значениях p это возможно?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 670870

i

Внутри треугольника ABC, в котором $\angle B = 45 градусов,$ выбрана точка Q такая, что S_ABQ : S_ACQ : S_CBQ  =  1 : 2 : 4. Прямые CQ и AQ пересекают стороны AB и BC соответственно в точках K и L. Известно, что точки A, K, L и C лежат на одной окружности.

а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б)  Найдите квадрат расстояния от точки Q до центра вписанной в треугольник ABC окружности, если площадь треугольника ABC равна 7.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 670871

i

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$левая круглая скобка 1 плюс a в квадрате правая круглая скобка x в степени 6 плюс 3a в квадрате x в степени 4 плюс 2 левая круглая скобка 1 минус 6a правая круглая скобка x в кубе плюс 3a в квадрате x в квадрате плюс a в квадрате плюс 1=0$

имеет единственное решение.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 670872

i

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а)  Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б)  Может ли из какого-⁠нибудь числа получиться число 37494128?

в)  Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

А. Ларин. Тренировочный вариант № 478.