Множество простых делителей числа n будем называть ДНК этого числа. Числа m и n, имеющие одинаковые ДНК, будем называть родственными. Например, числа 12 и 18 родственные, т. к. их ДНК={2,3}.
Число m называется симметричным с числом n, если оно записано теми же цифрами, но в обратном порядке. При этом если последними цифрами числа n были нули, то в начале числа m они отбрасываются.
а) Пусть число n делится на 10. Может ли оно быть родственным со своим симметричным числом?
б) Сумма первой и последней цифр натурального числа равна 13. Может ли оно быть родственным со своим симметричным числом?
в) Найдите минимальное и максимальное составное трёхзначное число, у которого нет трёхзначных родственных чисел.
Числа, входящие в ДНК, будем называть генами.
а) Если число делится на 10, то у него есть гены 2 и 5. Если оно родственно своему симметричному, то у того тоже есть гены
б) Если сумма двух цифр равна 13, то одна из них четна, а другая нет, причем ни одна из них не ноль (и не будет отброшена). Значит, одно из пары симметричных чисел заканчивается на четную цифру и содержит ген 2, а другое не содержит его. Поэтому они не родственны.
в) Докажем, что минимальное число это 121. В самом деле, любое меньшее составное число имеет простой множитель, не больший 7. Умножим число на него, оно останется трехзначным, поскольку не превзойдет 120 · 7 < 1000. При этом к его генам ничего не добавится. Геном 121 состоит только из гена 11. Такое бывает только у степеней числа 11, но даже ближайшие к 121 степени числа 11 это 111 = 11 и 113 = 1331 — не трехзначные числа. Докажем, что максимальное такое число это 998. Заметим, что геном 999 = 33 · 37 состоит из 3 и 37, как и геном 37 · 3 = 111. C другой стороны, геном 998 = 2 · 499 состоит из 2 и 499 (для проверки простоты числа 499 достаточно убедиться, что оно не кратно простым числам от 2 до 19, поскольку 232 > 499). Любое другое число с таким же геномом кратно 2 и 499, а потому кратно и 998. Других таких трехзначных чисел нет.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 121 и 998.