а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Квад­рат АВСD и пря­мой ци­линдр рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что АВ  — диа­метр верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD лежит в плос­ко­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра и ка­са­ет­ся его окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость квад­ра­та на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра под углом 60°.

б)  Най­ди­те длину на­хо­дя­щей­ся сна­ру­жи ци­лин­дра части от­рез­ка BD, если об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра равна

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15-⁠го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 25 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  с 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 24-⁠й долг дол­жен быть на 45 тыс. руб. мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15-⁠му числу 25-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма пла­те­жей после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 1830 тыс. руб.?

В тре­уголь­ни­ке ABC про­дол­же­ния вы­со­ты CC₁ и бис­сек­три­сы BB₁ пе­ре­се­ка­ют опи­сан­ную окруж­ность в точ­ках N и М со­от­вет­ствен­но, и

а)  До­ка­жи­те, что ВM   =   CN.

б)  Пря­мые BC и MN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDN, если его вы­со­та ВН равна 6.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Обо­зна­чим через a_n про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей на­ту­раль­но­го числа n.

а)  Может ли быть a_n  =  1000?

б)  Чему равно n, если a_n  =  21 952?

в)  При каких зна­че­ни­ях n вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство a_n  =  n²?