СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 526904

Первый набор чисел состоит из чисел Второй набор состоит из чисел Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте — число из первого набора, а на втором — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.

а) Может ли полученная сумма делиться на 9?

б) Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?

в) Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.

Решение.

а) Заметим, что все слагаемые в полученной сумме делятся на 9, кроме того слагаемого, которое содержит тройку из второго набора. Значит, и вся сумма не делится на 9.

б) Может. Пусть, например, перемножили максимальные числа из первого и второго набора, а остальные пары сформировали произвольным образом. Заметим, что Таким образом, уже одно из слагаемых полученной суммы больше, чем миллион, значит и вся сумма тем более больше, чем миллион.

в) Наименьшее значение суммы достигается, если умножить наибольшее число из второго набора на наименьшее из первого, второе по величине число из второго набора умножить на следующее за наименьшим числом из первого и т. д., а полученные произведения сложить. Тем самым, наименьшая возможная сумма равна

Чтобы показать, что найденное значение суммы действительно наименьшее, проведем следующее рассуждение. Рассмотрим в сумме слагаемое содержащее Если степень двойки то, в данном и предыдущем слагаемых поменяем степени тройки местами, получим из величину При этом сумма уменьшится, поскольку разность старого и нового значений положительна:

Будем продолжать, пока множитель не перейдёт в первое слагаемое Затем поступим так же с множителем — он перейдет во второе слагаемое и т. д. Указанным образом преобразуем исходную сумму в наименьшую возможную сумму

 

Ответ: а) нет; б) да; в)

 

 

Примечание Дмитрия Мухина (Москва).

Подготовленный читатель увидит в задаче перестановочное неравенство, называемое также транснеравенством. Приведем и докажем его.

Теорема. Пусть — какая-то перестановка чисел 1, 2, 3, ..., n. Тогда:

 

 

 

Доказательство. Применим метод математической индукции. Проверим базу индукции: если а то

Полученное неравенство верно, так как множители имеют разные знаки.

Индукционный переход: предположим, что утверждение верно при докажем, что тогда оно верно и при . Если , то неравенство сводится к предположению индукции. Если , то поменяем эти множители местами:

Здесь первое неравенство следует из предположения индукции, а второе — из базы индукции.

Тем самым, по принципу математической индукции, неравенство (1) доказано. Аналогично доказывается неравенство (2).

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства