В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке из вер­ши­ны пря­мо­го угла про­ве­де­ны вы­со­та СН и ме­ди­а­на CM, угол В равен 71°. Най­ди­те угол МСН. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что AB  =  9, BC  =  6 и AA₁  =  5. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, D, A₁ и B₁.

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что решка вы­па­дет ровно один раз.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,1. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,03. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик    — про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 3). В какой точке от­рез­ка [−3; 2] функ­ция при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни  моля воз­ду­ха объeмом  л, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го объeма Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем  (Дж), где по­сто­ян­ная, а  К  — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Какой объeм (в лит­рах) ста­нет за­ни­мать воз­дух, если при сжа­тии газа была со­вер­ше­на ра­бо­та в 27 840 Дж?

Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 15 часов, а дру­гой  — за 10 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(4).

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [1; 4].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан тет­ра­эдр ABCD, на реб­рах AC, AD, BD, BC от­ме­че­ны точки K, L, M, N со­от­вет­ствен­но так, что а KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до КLМ, если из­вест­но, что объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 50.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом;

  — с фев­ра­ля по июнь нужно вы­пла­тить часть долга одним пла­те­жом.

Сколь­ко руб­лей пла­ни­ру­ет­ся взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года), а общая сумма вы­плат равна 375 000 руб­лей?

Точка В лежит на от­рез­ке АС. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром BC в точке M и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром АВ в точке К. Про­дол­же­ние от­рез­ка МВ пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AB в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и МC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка DBC, если AK  =  7 и MK  =  14.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 1 ко­рень.

Дано на­ту­раль­ное число. На каж­дом ходе из него либо вы­чи­та­ют утро­ен­ную сумму цифр, либо при­бав­ля­ют утро­ен­ную сумму цифр, так, что по­лу­чен­ное число оста­ет­ся на­ту­раль­ным.

а)  Могло ли из числа 65 по­лу­чить­ся число 41?

б)  Могло ли из числа 65 по­лу­чить­ся число 43?

в)  Какое наи­мень­шее дву­знач­ное число можно по­лу­чить из 65?