а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, в ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  8, бо­ко­вое ребро Точка Q  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани ABB₁А₁, точки M, N и K  — се­ре­ди­ны ВС, СC₁ и А₁C₁ cот­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки Q, M, N и K лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния QMN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

К окруж­но­сти с диа­мет­ром AB  =  6 про­ве­де­на ка­са­тель­ная BC так, что Пря­мая AC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке D. Точка E диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­на точке D. Пря­мые ED и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка FBE.

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на три года в раз­ме­ре S тысяч руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет не мень­ше 120 тысяч руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра α, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

а)  Су­ще­ству­ют ли на­ту­раль­ные числа m и n, такие, что дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на равен 17?

б)  Су­ще­ству­ют ли на­ту­раль­ные числа m и n, такие, что дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на равен 54?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет дис­кри­ми­нант D квад­рат­но­го трех­чле­на если из­вест­но, что числа m, n и D  — на­ту­раль­ные?