В ма­га­зи­не вся ме­бель продаётся в разо­бран­ном виде. По­ку­па­тель может за­ка­зать сбор­ку ме­бе­ли на дому, сто­и­мость ко­то­рой со­став­ля­ет 10% от сто­и­мо­сти куп­лен­ной ме­бе­ли. Шкаф стоит 3300 руб­лей. Во сколь­ко руб­лей обойдётся по­куп­ка этого шкафа вме­сте со сбор­кой?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев с по­ло­жи­тель­ной сред­не­ме­сяч­ной тем­пе­ра­ту­рой в 1973 году.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме «Не­ра­вен­ства». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме «Не­ра­вен­ства».

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол между вы­со­той и ме­ди­а­ной, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен 40°. Най­ди­те боль­ший из ост­рых углов этого тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик    — про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 3). В какой точке от­рез­ка [−3; 2] функ­ция при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми и их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 9 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD про­ве­де­на вы­со­та SH. K  — се­ре­ди­на ребра SD, N  — се­ре­ди­на ребра CD. Плос­кость ABK пе­ре­се­ка­ет ребро SC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая PK делит от­ре­зок NS по­по­лам.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки P до плос­ко­сти ABS, если SH = 15, CD = 16.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Дана тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD, впи­сан­ная в окруж­ность. Про­дол­же­ние вы­со­ты тра­пе­ции BH пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AC и AK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те AD, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 6, угол BAC со­став­ля­ет 30°, от­но­ше­ние пло­ща­дей BCNH к NKH равно 35, где N  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AD и CK.

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 900 тысяч руб­лей на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — в ян­ва­ре 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг воз­рас­та­ет на 12% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — в ян­ва­ре 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг воз­рас­та­ет на 8% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

  — к июлю 2035 года кре­дит дол­жен быть по­га­шен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Даны три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа такие, что вто­рое число равно сумме цифр пер­во­го, а тре­тье  — сумме цифр вто­ро­го.

а)  Может ли сумма трех чисел быть рав­ной 420?

б)  Может ли сумма трех чисел быть рав­ной 419?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет троек чисел, таких что: пер­вое число  — трех­знач­ное, а по­след­нее равно 5?