В квар­ти­ре уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да го­ря­чей воды (счётчик). По­ка­за­ния на 1 марта со­став­ля­ли 548 м³ воды, а 1 ап­ре­ля  — 556 м³. Сколь­ко нужно за­пла­тить за го­ря­чую воду за март, если сто­и­мость 1 м³ го­ря­чей воды со­став­ля­ет 191 руб. 50 коп.?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в го­ро­де N за каж­дый месяц 2019 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 8 гра­ду­сов Цель­сия?

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 × 1 от­ме­че­ны две точки A и B. Най­ди­те длину от­рез­ка AB.

Перед на­ча­лом тур­ни­ра по шах­ма­там участ­ни­ков слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на пары с по­мо­щью жре­бия. Всего за­ре­ги­стри­ро­ва­но 26 шах­ма­ти­стов, среди ко­то­рых 18 спортс­ме­нов из Санкт-Пе­тер­бур­га, в том числе и Алек­сей Жу­равлёв. Най­ди­те ве­ро­ят­ность, что Алек­сей Жу­равлёв будет иг­рать с шах­ма­ти­стом из Санкт-Пе­тер­бур­га.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

В тре­уголь­ни­ке ABC угол B  — тупой, AB  =  5, BC  =  6. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла, про­ти­во­ле­жа­ще­го сто­ро­не AC, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 7,5. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пря­мая y  =  −5x + 2 па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y  =  x² + 5x + 3. Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объём ко­ну­са, если ра­ди­ус его ос­но­ва­ния уве­ли­чит­ся в 4 раза, а вы­со­та оста­нет­ся преж­ней?

Вы­чис­ли­те

Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ле­та­ет мячик, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  (м), где  м/с  — на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те  м/с). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) мячик пе­ре­ле­тит реку ши­ри­ной 3,2 м?

Из пунк­та А и пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 72 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но, что за час мо­то­цик­лист про­ез­жа­ет на 18 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в пункт В на 2 часа позже мо­то­цик­ли­ста. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 5. На реб­рах AA₁ и A₁C₁ вы­бра­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но так, что AM  =  A₁N  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ACC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке D. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ACD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник CDE рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE, если AB  =  8, BC  =  7, AC  =  6.

В ян­ва­ре 2020 года Борис взял кре­дит в банке на сумму 4 200 000 руб­лей. По до­го­во­ру с бан­ком Борис дол­жен был по­га­сить долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми в фев­ра­ле 2021 года и фев­ра­ле 2022 года, при усло­вии, что в ян­ва­ре 2021 года и ян­ва­ре 2022 года сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%. В фев­ра­ле 2021 года Борис сде­лал первую вы­пла­ту в со­от­вет­ствии с до­го­во­ром. После этого ему уда­лось до­го­во­рить­ся с бан­ком о ре­фи­нан­си­ро­ва­нии кре­ди­та и умень­шить про­цент, на ко­то­рый сумма долга вы­рас­тет в ян­ва­ре 2022 года, до 7%. Какую сумму сэко­но­мит Борис на ре­фи­нан­си­ро­ва­нии сво­е­го кре­ди­та?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Сима за­пи­са­ла не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, все цифры ко­то­рых четны, после чего нашла сумму этих чисел и обо­зна­чи­ла ее через S.

а)  Может ли сумма цифр числа S быть не­чет­ным чис­лом?

б)  Может ли про­из­ве­де­ние цифр числа S быть не­чет­ным чис­лом?

в)  Пусть де­ся­тич­ная за­пись числа S со­сто­ит из 366 цифр. Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может при­ни­мать про­из­ве­де­ние цифр числа S?