СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 501400

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.

Решение.

а) Так как периметр равен 4000, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 1000, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 1 000 000.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В этом случае площадь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площадь равна 1999. В этом случае условие также соблюдается, так как число 1999 равно 199900% от числа 1.

в) Пусть ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем:

Так как и ― целые числа, то число 200 000 кратно числу

Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5.

Возможны три случая:

1) Число не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.

2) Число делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида в искомый промежуток попадает только число В этом случае а площадь равна 937 500.

3) Число делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа 200 000. Если же 100 + n = 125, то a = 1600, а площадь равна 640 000.

 

Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.


Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства