СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 501400

Длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка ― на­ту­раль­ные числа, а его пе­ри­метр равен 4000. Из­вест­но, что длина одной сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равна n% от длины дру­гой сто­ро­ны, где n ― также на­ту­раль­ное число.

а) Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

б) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что n <100.

Ре­ше­ние.

а) Так как пе­ри­метр равен 4000, то сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 2000. Из­вест­но, что наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка при фик­си­ро­ван­ном пе­ри­мет­ре до­сти­га­ет­ся в том слу­чае, если он яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Таким об­ра­зом, его сто­ро­ны долж­ны быть равны 1000, что не про­ти­во­ре­чит усло­вию (длины обеих сто­рон на­ту­раль­ные числа, длина одной сто­ро­ны равна 100% от длины дру­гой). Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка равно 1 000 000.

б) Пусть мень­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка (или рав­ная дру­гой сто­ро­не, если это квад­рат) равна тогда дру­гая сто­ро­на равна В этом слу­чае пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Гра­фи­ком дан­ной функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, а число не пре­вос­хо­дит абс­цис­сы вер­ши­ны па­ра­бо­лы. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние функ­ции будет тем мень­ше, чем даль­ше на­хо­дит­ся число от абс­цис­сы вер­ши­ны. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при а тогда пло­щадь равна 1999. В этом слу­чае усло­вие также со­блю­да­ет­ся, так как число 1999 равно 199900% от числа 1.

в) Пусть ― это сто­ро­на, n% от ко­то­рой равны дру­гой сто­ро­не. Тогда дру­гая сто­ро­на равна По­сколь­ку сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 2000, по­лу­ча­ем:

Так как и ― целые числа, то число 200 000 крат­но числу

За­ме­тим, что так как Сле­до­ва­тель­но, тре­бу­ет­ся найти все де­ли­те­ли числа 200 000, мень­шие 200, но боль­шие 100. Так как то ис­ко­мый де­ли­тель может со­дер­жать в своем раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли лишь 2 и 5, при­чем со­от­вет­ству­ю­щие сте­пе­ни не пре­вос­хо­дят 6 и 5.

Воз­мож­ны три слу­чая:

1) Число не де­лит­ся на 5. Тогда оно может быть толь­ко сте­пе­нью двой­ки, при­чем не более, чем ше­стой. Но тогда оно не пре­вос­хо­дит 64, что мень­ше 100.

2) Число де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 25. Из чисел вида в ис­ко­мый про­ме­жу­ток по­па­да­ет толь­ко число В этом слу­чае а пло­щадь равна 937 500.

3) Число де­лит­ся на 25. В этом слу­чае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 де­лит­ся на 3, а 175 де­лит­ся на 7, зна­чит, они оба не яв­ля­ют­ся де­ли­те­ля­ми числа 200 000. Если же 100 + n = 125, то a = 1600, а пло­щадь равна 640 000.

 

Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.


Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства