Пусть x и y  — длины ка­те­тов, а z  — длина ги­по­те­ну­зы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

а)  Если длина ги­по­те­ну­зы z  =  17, а то от­ку­да то есть а зна­чит, Пе­ре­би­рая ва­ри­ан­ты x  =  13, x  =  14, x  =  15 и x  =  16, на­хо­дим со­от­вет­ствен­но:

Толь­ко один из этих ва­ри­ан­тов дает на­ту­раль­ное зна­че­ние y  =  8.

Если же один из ка­те­тов равен 17, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

Число 289 един­ствен­ным об­ра­зом (с точ­но­стью до по­ряд­ка) пред­став­ля­ет­ся в виде про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных со­мно­жи­те­лей: от­ку­да и сле­до­ва­тель­но, z  =  145 и y  =  144.

б)  По­сколь­ку каж­дый из ка­те­тов мень­ше ги­по­те­ну­зы, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка мень­ше утро­ен­ной ги­по­те­ну­зы. Зна­чит, в усло­вии го­во­рит­ся о ка­те­те. Итак, от­ку­да Тогда

(можно по­де­лить на от­ку­да Зна­чит, y крат­но 23, иначе число z не­це­лое. Пусть y  =  23t, тогда z  =  265t и x  =  264t. Ясно, что z и x не могут быть про­сты­ми: они крат­ны 5 и 2 со­от­вет­ствен­но и боль­ше этих чисел. Зна­чит, про­стым будет y  =  23t, что воз­мож­но толь­ко при t  =  1.

в)  За­ме­тим, что про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе вы­со­та делит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник на два тре­уголь­ни­ка, по­доб­ных между собой и по­доб­ных ис­ход­но­му тре­уголь­ни­ку. Най­дем такие тре­уголь­ни­ки. Пусть a  — от­ре­зок ги­по­те­ну­зы от ос­но­ва­ния вы­со­ты до вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка, b  — со­от­вет­ству­ю­щий катет. Вы­со­та равна сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му про­ек­ция ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу, по­это­му a  — де­ли­тель числа 120². Если тогда Числа и имеют оди­на­ко­вую чет­ность, по­это­му оба долж­ны быть четны. Этого до­ста­точ­но, чтобы по ним найти под­хо­дя­щие a и b. Если то:

Пе­ре­бе­рем те­перь чет­ные де­ли­те­ли 14 400, мень­шие 120. Оче­вид­но, что

В каж­дом слу­чае вы­пи­шем a и вы­ра­же­ние   — длину вто­ро­го от­рез­ка ги­по­те­ну­зы. Чтобы со­кра­тить пе­ре­бор, будем ис­кать мень­ший от­ре­зок ги­по­те­ну­зы, то есть по­тре­бу­ем, чтобы

Ясно, что функ­ция в левой части убы­ва­ет, при­чем для d  =  48 по­лу­ча­ем по­это­му можно пе­ре­би­рать толь­ко Тогда

—  d  =  50 и a  =  119  — не под­хо­дит;

—  d  =  60 и a  =  90  — под­хо­дит, тогда вто­рой от­ре­зок 160;

—  d  =  64 и a  =  80,5  — не под­хо­дит;

—  d  =  72 и a  =  64  — под­хо­дит, тогда вто­рой от­ре­зок 225;

—  d  =  80 и a  =  50  — под­хо­дит, тогда вто­рой от­ре­зок 288;

—  d  =  90 и a  =  35  — не под­хо­дит;

—  d  =  96 и a  =  27  — не под­хо­дит;

—  d  =  100 и a  =  22  — не под­хо­дит.

В каж­дом из этих слу­ча­ев вы­чис­лим сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. Для от­рез­ков 90 и 160 ги­по­те­ну­за равна 250, а ка­те­ты равны

и 200. Для от­рез­ков 64 и 225 ги­по­те­ну­за равна 289, а ка­те­ты равны

и 255. Для от­рез­ков 50 и 288 ги­по­те­ну­за равна 338, а ка­те­ты равны

и 312.

Ответ: а)  8, 15, 17 или 17, 144, 145; б)  23, 264, 265; в)  150, 200, 250, или 136, 255, 289, или 130, 312, 338.