Дано на­ту­раль­ное число. На каж­дом ходе из него либо вы­чи­та­ют утро­ен­ную сумму цифр, либо при­бав­ля­ют утро­ен­ную сумму цифр, так, что по­лу­чен­ное число оста­ет­ся на­ту­раль­ным.

а)  Могло ли из числа 65 по­лу­чить­ся число 41?

б)  Могло ли из числа 65 по­лу­чить­ся число 43?

в)  Какое наи­мень­шее дву­знач­ное число можно по­лу­чить из 65?

Дано на­ту­раль­ное число. К этому числу можно либо при­ба­вить утро­ен­ную сумму его цифр, либо вы­честь утро­ен­ную сумму его цифр. После при­бав­ле­ния или вы­чи­та­ния суммы цифр, число долж­но остать­ся на­ту­раль­ным.

а)  Можно ли по­лу­чить из числа 128 число 29?

б)  Можно ли по­лу­чить из числа 128 число 31?

в)  Какое наи­мень­шее число можно было по­лу­чить из числа 128?

Егор делит ли­ней­ку на части. За одно дей­ствие он может от­ре­зать от лю­бо­го ко­ли­че­ства ли­не­ек рав­ные части, име­ю­щие целую длину.

а)  Может ли Егор за 4 хода раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 16 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 5 ходов раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 100 см на части по 1 см?

в)  За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ходов Егор может раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 300 см на части по 1 см?

Егор делит ли­ней­ку на части. За одно дей­ствие он может от­ре­зать от лю­бо­го ко­ли­че­ства ли­не­ек рав­ные части, име­ю­щие целую длину.

а)  Может ли Егор за 5 ходов раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 32 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 4 хода раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 50 см на части по 1 см?

в)  За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ходов Егор может раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 300 см на части по 1 см?

Де­ре­вян­ную ли­ней­ку, длина ко­то­рой вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом сан­ти­мет­ров, раз­ре­за­ют на куски. За один ход можно взять один или не­сколь­ко кус­ков ли­ней­ки, по­ло­жить их друг на друга и раз­ре­зать каж­дый из них на две части, длины ко­то­рых вы­ра­жа­ют­ся целым чис­лом сан­ти­мет­ров.

а)  Можно ли за че­ты­ре хода раз­ре­зать ли­ней­ку дли­ной 16 см на куски дли­ной 1 см?

б)  Можно ли за пять ходов раз­ре­зать ли­ней­ку дли­ной 100 см на куски дли­ной 1 см?

в)  Какое наи­мень­шее число ходов нужно сде­лать, чтобы раз­ре­зать ли­ней­ку дли­ной 200 см на куски дли­ной 1 см?

У Пети есть мо­не­ты но­ми­на­лом 1, 2, 5 и 10 руб­лей. Каж­до­го вида монет у него по 100 штук. Цена пи­рож­но­го в руб­лях вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом. Петя хочет ку­пить пи­рож­ное без сдачи, но до по­куп­ки не знает сколь­ко оно стоит.

а)  Может ли Петя вы­брать дома 16 монет так, чтобы ку­пить пи­рож­ное сто­и­мо­стью не более 100  руб­лей?

б)  Может ли Петя вы­брать дома 5 монет так, чтобы ку­пить пи­рож­ное сто­и­мо­стью не более 25  руб­лей?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство монет нужно взять Пете, если из­вест­но, что пи­рож­ное стоит не более 100  руб­лей?

Бес­ко­неч­ная гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия b₁, b₂, ..., b_n, ... со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ + ... + b_n при всех на­ту­раль­ных

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ко­то­рой ровно два числа де­лят­ся на 60?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ко­то­рой ровно три числа де­лят­ся на 60?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел среди S₁, S₂, ..., S₁₂ может де­лить­ся на 60, если из­вест­но, что S₁ на 60 не де­лит­ся?

Бес­ко­неч­ная гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия b₁, b₂, ..., b_n, ... со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ + ... + b_n при всех на­ту­раль­ных

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ко­то­рой ровно два числа де­лят­ся на 40?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ко­то­рой ровно три числа де­лят­ся на 40?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел среди S₁, S₂, ..., S₈ может де­лить­ся на 40, если из­вест­но, что S₁ на 40 не де­лит­ся?

Трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го нет нулей, раз­де­ли­ли на про­из­ве­де­ние его цифр.

а)  Может ли по­лу­чив­ше­е­ся част­ное быть рав­ным 5?

6)  Может ли по­лу­чив­ше­е­ся част­ное быть рав­ным 1?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать это част­ное?

На доске на­пи­са­но трёхзнач­ное число A. Серёжа зачёрки­ва­ет одну цифру и по­лу­ча­ет дву­знач­ное число B, затем Коля за­пи­сы­ва­ет число A и за­чер­ки­ва­ет одну цифру (воз­мож­но ту же, что Серёжа) и по­лу­ча­ет число C.

а)  Может ли быть вер­ным урав­не­ние если

б)  Может ли быть вер­ным урав­не­ние если

в)  Най­ди­те наи­боль­шее число A до 900 для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся

Есть трёхзнач­ное число A, ко­то­рое на­пи­сал Петя. Костя и Ваня вычёрки­ва­ют по одной цифре в числе, по­лу­ча­ют­ся двух­знач­ные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вы­черк­нуть оди­на­ко­вые цифры

а)  Может ли быть верно ра­вен­ство если

б)  Может ли быть верно ра­вен­ство если

в)  Какое мак­си­маль­ное A со­от­вет­ству­ет усло­вию.

Даны числа A и B. Из них можно сде­лать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, толь­ко если сле­ду­ю­щая пара этих чисел будет на­ту­раль­ной. Из­вест­но, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов со­здать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколь­ко ходов можно сде­лать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать, чтобы оба числа не пре­вы­ша­ли 50?

Из пары на­ту­раль­ных чисел (a; b), где за один ход по­лу­ча­ют пару (a + b; a – b).

а)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов по­лу­чить из пары (50; 9) пару, боль­шее число в ко­то­рой равно 200?

б)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов по­лу­чить из пары (50; 9) пару (408; 370)?

в)  Какое наи­мень­шее a может быть в паре (a; b), из ко­то­рой за не­сколь­ко ходов можно по­лу­чить пару (408; 370).

Дана пра­виль­ная не­со­кра­ти­мая дробь За один ход можно уве­ли­чить чис­ли­тель на зна­ме­на­тель, а зна­ме­на­тель на два чис­ли­те­ля, т. е. по­лу­чить не­со­кра­ти­мую дробь

а)  Можно ли из дроби по­лу­чить дробь

б)  Можно ли из не­ко­то­рой дроби по­лу­чить дробь за 2 хода.

в)  Дробь боль­ше Най­ди­те ми­ни­маль­ную дробь ко­то­рую нель­зя по­лу­чить из дру­гой пра­виль­ной не­со­кра­ща­е­мой дроби за 2 хода.

В игре число a  =  4 и число b  =  5, за ход можно сде­лать или (новые числа а и b все­гда по­ло­жи­тель­ные).

а)  Можно ли по­лу­чить число 200 за 100 ходов?

б)  Сколь­ко нужно сде­лать ходов, чтобы по­лу­чить сумму рав­ную 300.

в)  Сколь­ко нужно сде­лать ходов, чтобы по­лу­чить мак­си­маль­ную сумму, при этом ни одно число не пре­вы­ша­ет 200.

Для чисел A и B, со­сто­я­щих из оди­на­ко­во­го ко­ли­че­ства цифр, вы­чис­ли­ли S  — сумму про­из­ве­де­ний со­от­вет­ству­ю­щих цифр. На­при­мер. для числа A  =  123 и B  =  579 по­лу­ча­ет­ся сумма

a)  Су­ще­ству­ют ли трёхзнач­ные числа А и В, для ко­то­рых ?

б)  Су­ще­ству­ют ли пя­ти­знач­ные числа А и В. для ко­то­рых S  =  400?

В)  Верно ли, что любое на­ту­раль­ное число от 1 до 260 яв­ля­ет­ся сум­мой для не­ко­то­рых четырёхзнач­ных чисел A и В?

В клас­се боль­ше 10, но не боль­ше 26 уча­щих­ся, а доля де­во­чек не пре­вы­ша­ет 21%.

а)  Может ли в этом клас­се быть 5 де­во­чек?

б)  Может ли доля де­во­чек со­ста­вить 30%, если в этот класс придёт новая де­воч­ка?

в)  В этот класс при­ш­ла новая де­воч­ка. Доля де­во­чек в клас­се со­ста­ви­ла целое число про­цен­тов. Какое наи­боль­шее число про­цен­тов может со­ста­вить доля де­во­чек в клас­се?

В клас­се боль­ше 10, но не боль­ше 26 уча­щих­ся, а доля де­во­чек не пре­вы­ша­ет 36%.

а)  Может ли в этом клас­се быть 7 де­во­чек?

б)  Может ли доля де­во­чек со­ста­вить 45%, если в этот класс придёт новая де­воч­ка?

в)  В этот класс при­ш­ла новая де­воч­ка. Доля де­во­чек в клас­се со­ста­ви­ла целое число про­цен­тов. Какое наи­боль­шее число про­цен­тов может со­ста­вить доля де­во­чек в клас­се?

В клас­се боль­ше 10, но не боль­ше 26 уча­щих­ся, а доля де­во­чек не пре­вы­ша­ет 46%.

а)  Может ли в этом клас­се быть 9 де­во­чек?

б)  Может ли доля де­во­чек со­ста­вить 55%, если в этот класс придёт новая де­воч­ка?

в)  В этот класс при­ш­ла новая де­воч­ка. Доля де­во­чек в клас­се со­ста­ви­ла целое число про­цен­тов. Какое наи­боль­шее число про­цен­тов может со­ста­вить доля де­во­чек в клас­се?

На столе лежит три кар­точ­ки, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­на одна цифра. Ваня со­ста­вил из на­пи­сан­ных цифр трех­знач­ное число А. Петя вы­брал две из этих кар­то­чек, со­ста­вил из на­пи­сан­ных на них цифр дву­знач­ное число В и вер­нул кар­точ­ки на место. Коля тоже вы­брал две из этих трех кар­то­чек и со­ста­вил из на­пи­сан­ных на них цифр дву­знач­ное число С (воз­мож­но то же самое, что и Петя).

а)  Может ли быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C, если A < 150?

б)  Может ли быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C, если числа B и C де­лят­ся на 3?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее число A, для ко­то­ро­го может быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C.

На столе лежит три кар­точ­ки, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­на одна цифра. Ваня со­ста­вил из на­пи­сан­ных цифр трех­знач­ное число А. Петя вы­брал две из этих кар­то­чек, со­ста­вил из на­пи­сан­ных на них цифр дву­знач­ное число В и вер­нул кар­точ­ки на место. Коля тоже вы­брал две из этих трех кар­то­чек и со­ста­вил из на­пи­сан­ных на них цифр дву­знач­ное число С (воз­мож­но то же самое, что и Петя).

а)  Может ли быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C, если A > 150?

б)  Может ли быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C, если числа B и C де­лят­ся на 9?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число A, для ко­то­ро­го может быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C.

На ово­ще­ба­зу за­вез­ли ка­пу­сту. Каж­дый из ко­ча­нов ка­пу­сты весит 1, 2 или 3 ки­ло­грам­ма.Фер­мер Иван по­ехал на ово­ще­ба­зу за ка­пу­стой. Его сосед Фёдор по­про­сил ку­пить для него столь­ко же ка­пу­сты (по массе). На ово­ще­ба­зе Ивану со­ста­ви­ла набор ко­ча­нов ка­пу­сты, сум­мар­ная масса ко­то­рых со­ста­ви­ла N кг. Нужно раз­де­лить эти ко­ча­ны по­ров­ну (по массе) между Ива­ном и Фе­до­ром так, чтобы не при­ш­лось ре­зать ко­ча­ны.

а)  Су­ще­ству­ет ли набор ко­ча­нов сум­мар­ной мас­сой N  =  20, ко­то­рый не­воз­мож­но раз­де­лить по­ров­ну?

б)  Су­ще­ству­ет ли набор ко­ча­нов сум­мар­ной мас­сой N  =  24, ко­то­рый не­воз­мож­но раз­де­лить по­ров­ну?

в)  Най­ди­те все зна­че­ния N, для ко­то­рых любой набор ко­ча­нов сум­мар­ной массы N можно раз­де­лить по­ров­ну.

Есть кон­тей­не­ры мас­сой 7 тонн и мас­сой 2 тонны и ко­раб­ли гру­зо­подъ­ем­но­стью 10 тонн.

а)  Можно ли увез­ти за один раз 11 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 22 кон­тей­не­ра мас­сой 2 тонны на 14 ко­раб­лях?

б)  Можно ли увез­ти за один раз 11 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 17 кон­тей­не­ров мас­сой 2 тонны на 12 ко­раб­лях?

в)  На каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве ко­раб­лей можно уве­сти за один раз 11 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 77 кон­тей­не­ров мас­сой 2 тонны?

Есть кон­тей­не­ры мас­сой 7 тонн и мас­сой 2 тонны и ко­раб­ли гру­зо­подъ­ем­но­стью 10 тонн.

а)  Можно ли увез­ти за один раз 12 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 24 кон­тей­не­ра мас­сой 2 тонны на 15 ко­раб­лях?

б)  Можно ли увез­ти за один раз 12 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 18 кон­тей­не­ра мас­сой 2 тонны на 13 ко­раб­лях?

в)  На каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве ко­раб­лей можно уве­сти за один раз 12 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 45 кон­тей­не­ров мас­сой 2 тонны?

Квад­рат­ное урав­не­ние с на­ту­раль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми p и q имеет два на­ту­раль­ных корня.

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p, если q  =  5.

б)  Могут ли од­но­вре­мен­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ства p  <  10 и q  >  30?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние p при q  >  30.

Квад­рат­ное урав­не­ние с на­ту­раль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми p и q имеет два на­ту­раль­ных корня.

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p, если q  =  13.

б)  Могут ли од­но­вре­мен­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ства и

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние p при

Квад­рат­ное урав­не­ние с на­ту­раль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми p и q имеет два на­ту­раль­ных корня.

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p, если q  =  11.

б)  Могут ли од­но­вре­мен­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ства и

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние (p + q) при и