а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Раз­лич­ные точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S так, что от­ре­зок AB яв­ля­ет­ся её диа­мет­ром. Угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 60°.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те объем тет­ра­эд­ра SABC, если и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 1100 тысяч руб­лей на 16 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

− 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца (r  — целое число);

− со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 15-й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

− 15-го числа 15-го ме­ся­ца долг дол­жен быть равен 500 тысяч руб­лей;

− к 15-му числу 16-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та будет со­став­лять 1228 тысяч руб­лей.

В тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N лежат на сто­ро­нах AB и BC со­от­вет­ствен­но так, что Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся от­рез­ка MN в точке K.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, если и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

Каж­дое из че­ты­рех по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, по­след­няя цифра ко­то­рых не равна нулю, раз­де­ли­ли на его по­след­нюю цифру. По­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты сло­жи­ли и на­зва­ли S. Тогда:

а) может ли

б) может ли

в) если числа были трех­знач­ные, то какое наи­боль­шее целое зна­че­ние S могло по­лу­чить­ся?