За­ме­тим, что все де­ли­те­ли числа раз­би­ва­ют­ся на пары, да­ю­щие в про­из­ве­де­нии само число (если оно яв­ля­ет­ся квад­ра­том, среди его де­ли­те­лей есть число, пар­ное само к себе). Пе­ре­мно­жая два таких про­из­ве­де­ния, по­лу­чим про­из­ве­де­ние всех пар вида «де­ли­тель  — число, да­ю­щее в про­из­ве­де­нии с ним ис­ход­ное число». Пусть d  — ко­ли­че­ство де­ли­те­лей, тогда

а)  На­хо­дим:

Дру­гих пред­став­ле­ний в виде чет­ной сте­пе­ни на­ту­раль­но­го числа оно не имеет, но при этом у 1 000 000 не один де­ли­тель, у 1000 не 2 де­ли­те­ля, у 100 не 3, а у 10 не 6. Тре­бу­е­мое не­воз­мож­но.

б)  За­ме­тим, что от­ку­да

Число дей­стви­тель­но имеет 6 де­ли­те­лей (1, 2, 4, 7, 14, 28), а число имеет боль­ше двух де­ли­те­лей, как и число   — боль­ше трех.

в)  Ясно, что под­хо­дит. Пусть тогда зна­чит, у таких чисел долж­но быть ровно 4 де­ли­те­ля, то есть кроме пары 1, n долж­на быть еще ровно одна пара де­ли­те­лей. Пусть p  — про­стой де­ли­тель n. Если имеет еще какой-⁠то про­стой де­ли­тель, кроме себя и p, то по­лу­чим уже боль­ше двух де­ли­те­лей. Если это сте­пень p, то обя­за­тель­но вто­рая, по­сколь­ку при по­лу­ча­ем с тремя де­ли­те­ля­ми, при есть де­ли­те­ли p, p²,   — уже три. Тогда n  =  p³. Если же оно само про­стое, то n  =  pq  — про­из­ве­де­ние двух про­стых чисел.

Ответ: а)  нет; б)  28; в)  n  =  1, n  =  p³, n  =  pq для любых про­стых чисел