а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD, в ко­то­рой а ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния BC. Точки P, T, M  — се­ре­ди­ны ребер SB, BC, AB со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, SA  =  AB.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PT и CD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды DMPT, если AB  =  4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 6 лет в раз­ме­ре S млн руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 16% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те, на сколь­ко про­цен­тов общая сумма пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та пре­вы­сит сумму взя­то­го кре­ди­та.

Окруж­но­сти, по­стро­ен­ные на бо­ко­вых сто­ро­нах тра­пе­ции как на диа­мет­рах, ка­са­ют­ся между собой.

а)  До­ка­жи­те, что в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ос­но­ва­ния этой тра­пе­ции, если её бо­ко­вые сто­ро­ны равны 3 и 8, а боль­шая сто­ро­на ос­но­ва­ния видна из цен­тра впи­сан­ной окруж­но­сти под углом 120°.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Рас­смат­ри­ва­ют­ся пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, в ко­то­рых длины всех сто­рон яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми.

а)  Длина одной из сто­рон равна 17. Най­ди­те длины всех сто­рон.

б)  Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка в 24 раза боль­ше длины одной из сто­рон. Най­ди­те длины сто­рон тре­уголь­ни­ка, если одна из них яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом.

в)  Вы­со­та, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу, равна 120. Най­ди­те длины сто­рон тре­уголь­ни­ка.