В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. В первой школе он составил 54 балла. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, при этом средние баллы за тест увеличились на 12.5% в обеих школах.
a) Сколько учеников, писавших тест, могло быть в первой школе?
б) Какой максимальный балл мог быть у учащегося из первой школы?
в) Какой минимальный средний балл мог быть у учащихся во второй школе?
а) Заметим, что увеличить число на 12,5% это тоже самое, что умножить его на 
Пусть в первой школе писали тест n человек, и учащийся, перешедший потом во вторую школу, набрал a баллов. Тогда из условия получается уравнение: 
Решая это уравнение относительно n, получаем: 
Значит, 
Заметим так же, что среднее арифметическое баллов после перехода ученика равно 
значит, 
делится на 4. Двум последним условиям удовлетворяет только число 5.
б) Из пункта a) получаем, что четыре оставшихся в первой школе ученика суммарно набрали 243 балла. Трое из них не могут набрать суммарно меньше, чем 3 балла. Значит, максимальный балл у четвертого учащегося равен 240.
Ученик же, перешедший во вторую школу, набрал 
баллов.
в) Ясно, что среднее арифметическое баллов не может быть меньше, чем единица. Приведем пример, когда он равен 1. Пусть тест до перехода писали m детей. Тогда из условия получается уравнение: 
Значит, во второй школе могло быть 207 писавших тест детей, каждый из которых получил
Ответ: а) 5; б) 240; в) 1.