Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 14% и со­ста­ви­ла 1596 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту, на оси ор­ди­нат  — кру­тя­щий мо­мент в Н · м. Ско­рость ав­то­мо­би­ля (в км/ч) при­бли­жен­но вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой где n  — число обо­ро­тов дви­га­те­ля в ми­ну­ту. С какой наи­мень­шей ско­ро­стью дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы кру­тя­щий мо­мент был равен 120 Н · м? Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ра­жен тре­уголь­ник АВС. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну ВС.

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов  — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции на от­рез­ке

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 111. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем см. Рас­сто­я­ние от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 30 до 50 см, а рас­сто­я­ние от линзы до экра­на  — в пре­де­лах от 150 до 180 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми A и B равно 120 км. Из A в B по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через час вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A. К этому вре­ме­ни плот про­шел 24 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

На рёбрах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM : BM  =  CN : NB  =  1 : 2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Найти от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не AB взяли точку K, так, что пря­мые CK и AE па­рал­лель­ны. От­рез­ки CK и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что CO  =  KO.

б)  Найти от­но­ше­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции BC и AD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK со­став­ля­ет пло­ща­ди тра­пе­ции  ABCD.

В июле 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­чи­вать одним пла­те­жом часть долга.

Если еже­год­но вы­пла­чи­вать по 58 564 руб­лей, то кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен за 4 года, а если еже­год­но вы­пла­чи­вать по 106 964 руб­лей, то кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен за 2 года. Най­ди­те r.

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, де­ся­тич­ная за­пись каж­до­го из ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть по­ров­ну чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске окан­чи­вать­ся на 6?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, может быть за­пи­са­но на доске?