Бис­сек­три­са CD угла ACB при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (AB = AC) делит сто­ро­ну AB так, что AD  =  BC  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что CD = BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 12. На пря­мой АС взята точка D так, что точка С яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка AD. Точка K  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, пря­мая KD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке L.

a) До­ка­жи­те, что BL : LC = 2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BLK.

Точка D делит сто­ро­ну AC в от­но­ше­нии AD : DC  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что в тре­уголь­ни­ке ABD найдётся ме­ди­а­на, рав­ная одной из ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка DBC.

б)  Най­ди­те длину этой ме­ди­а­ны в слу­чае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

На сто­ро­нах AB, BC и CA тре­уголь­ни­ка ABC от­ло­же­ны со­от­вет­ствен­но от­рез­ки

а)  До­ка­жи­те, что где

б)  Най­ди­те, какую часть от пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNK.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C про­ве­де­на вы­со­та CD. Ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.

а)  До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков ACD и BCD, ACD и ABC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны AB  =  4, и BC  =  5. На сто­ро­не AB взята точка D такая. что AD  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что CD и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей. опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков BDC и ADC.

Дан тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром АС = СВ, а синус угла С равен 1. Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, с бо­ко­вой сто­ро­ной рав­ной 10. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.

Найти вы­со­ту рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ную его бо­ко­вой сто­ро­не, рав­ной 2, если синус од­но­го его угла равен ко­си­ну­су дру­го­го.

Найти длины сто­рон AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC, если BC = 8, а длины высот, про­ве­ден­ных к AC и BC, равны со­от­вет­ствен­но 6,4 и 4.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC на пря­мой BC от­ме­че­на точка D так, что угол CAD равен углу ABD. Най­ди­те длину от­рез­ка AD, если бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка ABC равна 5, а его ос­но­ва­ние равно 6.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­на AC  — ос­но­ва­ние. На про­дол­же­нии сто­ро­ны CB за точку В от­ме­че­на точка D так, что угол CAD равен углу ABD.

а)  До­ка­жи­те, что AB бис­сек­три­са угла CAD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AD, если бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка АВС равна 5, а его ос­но­ва­ние равно 6.

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­рое ВС вы­бра­на точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е  — се­ре­ди­на сто­ро­ны АВ. От­ре­зок СЕ и АК пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ВРС и АРС имеют рав­ные пло­ща­ди.

б)   Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВР, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 120.

В пря­мо­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны С пря­мо­го угла про­ве­де­ны вы­со­та CH, ме­ди­а­на СМ и бис­сек­три­са СL.

а)  До­ка­жи­те, что СL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла MCH.

б)  Най­ди­те длину бис­сек­три­сы СL, если СН  =  3, СМ  =  5.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ты AA₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

А)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AOC и C₁OA₁ по­доб­ны.

Б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ACA₁C₁, если из­вест­но, что угол ABC равен 30°, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 80.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 72, а сумма длин сто­рон АС и ВС равна 24.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, впи­сан­но­го в тре­уголь­ник АВС, если из­вест­но, что две вер­ши­ны этого квад­ра­та лежат на сто­ро­не АВ.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AM и CN.

А)  До­ка­жи­те, что углы ACB и MNB равны.

Б)  Вы­чис­ли­те длину сто­ро­ны АС, если из­вест­но, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 25 см, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка BMN равен 15 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMN равен 3 см.

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB в точке K, а ка­те­тов  — в точ­ках P и M.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна AK · BK.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PKM, если из­вест­но, что AK = 12, BK = 5.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ка­те­та­ми AC = 3 и BC = 2 про­ве­де­ны ме­ди­а­на CM и бис­сек­три­са CL.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка CML со­став­ля­ет одну де­ся­тую часть от пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те угол MCL.

а)  До­ка­жи­те, что в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сумма длин диа­мет­ров впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей равна сумме длин ка­те­тов.

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны пря­мо­го угла про­ве­де­на вы­со­та CH. Най­ди­те сумму длин ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABC, ACH и BCH, если из­вест­но, что

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC синус угла A равен На ги­по­те­ну­зе AB взята точка H, а на ка­те­те AC  — точка K. Из­вест­но, что пря­мая KH пер­пен­ди­ку­ляр­на ги­по­те­ну­зе и делит тре­уголь­ник ABC на две рав­но­ве­ли­кие части.

а)  До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ник KHBC можно впи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если из­вест­но, что KH = 1.

Дан тре­уголь­ник ABC. В нем про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AM и BN, каж­дая из ко­то­рых равна

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если его ос­но­ва­ние равно 132.

Внут­ри рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC в про­из­воль­ном месте по­став­ле­на точка M.

а)  До­ка­жи­те, что сумма рас­сто­я­ний от точки M до сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC равна вы­со­те этого тре­уголь­ни­ка.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до сто­ро­ны AB, если рас­сто­я­ние от точки M до сто­рон AC и BC со­от­вет­ствен­но равны и а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна

Даны тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁. Пря­мые AA₁, BB₁, CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Пря­мые AB и A₁B₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке C₂. Пря­мые АС и A₁C₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B₂. Пря­мые BC и B₁C₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A₂.

а)  До­ка­жи­те, что точки A₂, B₂, C₂ лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁ и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC, если вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC равны а вы­со­ты тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁ равны

Точка D лежит на сто­ро­не ВС тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если из­вест­но, что

На ос­но­ва­нии AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC взята точка E. Окруж­но­сти w₁ и w₂, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABE и CBE, ка­са­ют­ся пря­мой BE в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Опре­де­ли­те, на сколь­ко ра­ди­ус окруж­но­сти w₂  боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти w₁, если  из­вест­но,  что  AE  =  9,  СЕ  =  15, а ра­ди­ус впи­сан­ной в  тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти равен 4. 

В ост­ро­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и 

CC₁. Точки A₂ и C₂ сим­мет­рич­ны се­ре­ди­не сто­ро­ны  AC от­но­си­тель­но пря­мых BC и AB со­от­вет­ствен­но.  

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки A1A₂ и C₁С₂ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A₂ и C₂, если из­вест­но, что AB  =  7, BC  =  6, CA  =  5.  

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не AB от­ме­че­на точка E, при этом BE  =  4, EA  =  5, BC  =  6. 

а)  До­ка­жи­те, что углы ВАС и BCE равны. 

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEC, если из­вест­но, что угол ABC равен 30°. 

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 10; пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHB, где H  — точка пе­ре­се­че­ния высот, равна 8. На пря­мой CH взята такая точка K, что тре­уголь­ник ABK  — пря­мо­уголь­ный.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK.

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не AB рас­по­ло­же­на точка K так, что AK : KB = 3 : 5. На пря­мой AC взята точка E так, что AE = 2CE. Из­вест­но, что пря­мые BE и CK пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOC равна 20.

Через точку T внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­ны три пря­мые k, l и m так, что k || AB, l || BC, m || AC. Эти пря­мые об­ра­зу­ют три тре­уголь­ни­ка, два из ко­то­рых равны по пло­ща­ди.

а)  До­ка­жи­те, что квад­рат суммы квад­рат­ных кор­ней из пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков, об­ра­зо­ван­ных пря­мы­ми k, l и m со сто­ро­на­ми тре­уголь­ни­ка ABC, равен пло­ща­ди этого тре­уголь­ни­ка;

б)  Най­ди­те пло­щадь мень­ше­го тре­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 25, а пло­щадь каж­до­го из рав­ных тре­уголь­ни­ков равна 4.

Ме­ди­а­на AA₁ и BB₁ тре­уголь­ни­ка ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что CO  =  AB.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что AC  =  4, BC  =  3.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AA₁ и BB₁.

а)  До­ка­жи­те, что угол между бис­сек­три­са­ми AA₁ и BB₁ равен

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABA₁B₁, если из­вест­но, что AC  =  4, AB  =  5, BC  =  6.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AK и BP.  

а)  До­ка­жи­те, что углы АКР и ABP равны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка PK, если из­вест­но, что AB  =  5, BC  =  6, CA  =  4.

Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD (BC и АD  — ос­но­ва­ния) равна длине её сред­ней линии. 

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли тра­пе­ции пер­пен­ди­ку­ляр­ны. 

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­рон AB, BC и СD тра­пе­ции, если из­вест­но, что BC  =  4, АD  =  6.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми АС и BD впи­сан в окруж­ность.  

а)  До­ка­жи­те, что квад­рат диа­мет­ра окруж­но­сти равен сумме квад­ра­тов про­ти­во­по­лож­ных сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что

К двум окруж­но­стям, не име­ю­щим общих точек, про­ве­де­ны три общие ка­са­тель­ные: одна внеш­няя и две внут­рен­ние. Пусть А и В  — точки пе­ре­се­че­ния общей внеш­ней ка­са­тель­ной с об­щи­ми внут­рен­ни­ми.

а)  До­ка­жи­те, что се­ре­ди­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го цен­тры окруж­но­стей, оди­на­ко­во уда­ле­на от точек А и В.  

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми А и В, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 6 и 3 со­от­вет­ствен­но, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 15.

В тре­уголь­ни­ке АВС ВА  =  8, ВС  =  7, угол B равен 120°. Впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность ω ка­са­ет­ся сто­ро­ны АС в точке М. 

а)  До­ка­жи­те, что АМ  =  ВС. 

б)  Най­ди­те  длину  от­рез­ка  с  кон­ца­ми  на  сто­ро­нах АВ и АС, пер­пен­ди­ку­ляр­но­го АВ и ка­са­ю­ще­го­ся окруж­но­сти ω.

Точка К лежит на диа­мет­ре АВ окруж­но­сти с цен­тром О. С и D  — точки окруж­но­сти, рас­по­ло­жен­ные по одну сто­ро­ну от АВ, при­чем ∠OCK = ∠ODK.

а)  До­ка­жи­те, что ∠CKB = ∠DKA.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, С, D, если из­вест­но, что ОК  =  3,6, ВК  =  9,6, ∠OCK = ∠ODK  =  30°.

В  окруж­ность  с  цен­тром  в  точке О  впи­сан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  АВС с ги­по­те­ну­зой  АВ.  На  боль­шем  ка­те­те  ВС взята точка D так, что АС  =  ВD. Точка  Е  — се­ре­ди­на дуги АСВ.  

а)  До­ка­жи­те, что угол CED равен 90°.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка АОDEC, если из­вест­но, что АВ  =  13, АС  =  5.

Окруж­ность ω с цен­тром в точке О ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC тре­уголь­ни­ка ABC в точке M и про­дол­же­ний сто­рон AB  и  AC.  Впи­сан­ная  в  этот  тре­уголь­ник  окруж­ность с цен­тром в точке Е  ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K.  

а)  До­ка­жи­те, что ВК  =  СМ.                                                              

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ОКЕМ, если из­вест­но, что АС  =  5, ВС  =  6, АВ  =  4.

В не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол BAC равен 45°. Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы CD тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около него окруж­ность ω₁ в точке Е.  Окруж­ность  ω₂,  опи­сан­ная  около  тре­уголь­ни­ка  АDE,  пе­ре­се­ка­ет  про­дол­же­ние сто­ро­ны АС в точке F.  

А)  До­ка­жи­те, что  DE  — бис­сек­три­са угла FDB. 

Б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти ω₂, если из­вест­но, что АС  =  6, АF  =  2.

Дан квад­рат АВСD. Точки К, L, M  — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС и СD со­от­вет­ствен­но. АL пе­ре­се­ка­ет DK в точке Р, DL пе­ре­се­ка­ет АМ в точке Т, АМ пе­ре­се­ка­ет DK в точке О. 

А)  До­ка­жи­те, что точки Р, L, T, O лежат на одной окруж­но­сти; 

Б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в че­ты­рех­уголь­ник PLTO, если АВ  =  4.

На  диа­го­на­ли  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  АВСD  от­ме­че­ны  точки  Е  и  Р,  при­чем АЕ : ЕР : РС  =  1 : 2 : 1.  Пря­мые  DЕ  и  DР  пе­ре­се­ка­ют  сто­ро­ны  АВ  и  ВС  в  точ­ках  К  и  М со­от­вет­ствен­но.  

А)  До­ка­жи­те, что КМ па­рал­лель­на АС. 

Б)  Най­ди­те  пло­щадь  па­рал­ле­ло­грам­ма  АВСD,  если  из­вест­но,  что  пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка ВКЕРМ  равна 30.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что  На ги­по­те­ну­зе AB  вне тре­уголь­ни­ка по­стро­ен квад­рат ABEF.  Пря­мая CE пе­ре­се­ка­ет AB в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что OA : OB = 3 : 4. 

б)  Най­ди­те  от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков АOC и BOE.

Хорда AB окруж­но­сти па­рал­лель­на ка­са­тель­ной, про­хо­дя­щей через точку C, ле­жа­щую на окруж­но­сти. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку С и центр окруж­но­сти, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке Р.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВР рав­но­бед­рен­ный.   

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром хорда АВ делит диа­метр  СР, если из­вест­но, что  

На ги­по­те­ну­зе АВ пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС как на сто­ро­не по­стро­ен квад­рат вне тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая, со­еди­ня­ю­щая центр квад­ра­та и центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти, про­хо­дит через точку С.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тром квад­ра­та и цен­тром впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти, если из­вест­но, что

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат АВСD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны АВ и АD в точ­ках М и Р со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка АМР равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая МР пе­ре­се­ка­ет пря­мую СD в точке К. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку К и центр окруж­но­сти, пре­се­ка­ет пря­мую АВ в точке Е. Най­ди­те от­но­ше­ние если

Пер­вая окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВС, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния АС в точке М. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния АС и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон.

а)  До­ка­жи­те, что длина ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся сред­ним гео­мет­ри­че­ским диа­мет­ров пер­вой и вто­рой окруж­но­стей.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если ра­ди­ус пер­вой равен 3, а

В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на ме­ди­а­на ВМ.

а)  Может ли ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВМ, быть в два раза мень­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС?

б)  Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки АВМ и СВМ, ка­са­ют­ся ме­ди­а­ны ВМ в точ­ках Р и К со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми Р и К, если из­вест­но, что АВ  =  17, ВС  =  7, 

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­ро­нах АВ и АС от­ме­че­ны точки и со­от­вет­ствен­но, при­чем Пря­мые и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­жи­те, чтo пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOC в де­сять раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка если пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 150.

На сто­ро­не АВ тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­на точка М, от­лич­ная от вер­шин, что МС  =  АС. Точка Р сим­мет­рич­на точке А от­но­си­тель­но пря­мой ВС.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ВМСР можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка МР, если из­вест­но, что АВ  =  6, ВС  =  5, СА  =  3.

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­ны Пер­вая окруж­ность впи­са­на в тре­уголь­ник АВС, а вто­рая ка­са­ет­ся AB и про­дол­же­ния сто­рон BC и AC.

а)  До­ка­зать, что от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей равно 2 : 1.

б)  Найти рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей сто­ро­ны AB, если АС  =  15.

В квад­ра­те ABCD, со сто­ро­ной рав­ной а, точки P и Q  — се­ре­ди­ны сто­рон AD и CD со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки BP и AQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке R.

а)  До­ка­зать, что около че­ты­рех­уголь­ни­ков BCQR и DPRQ можно опи­сать окруж­но­сти.

б)  Найти рас­сто­я­ние между цен­тра­ми этих окруж­но­стей.

Окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мых АВ и ВС со­от­вет­ствен­но в точ­ках D и Е. Точка А лежит между В и D, а тока С  — между В и Е. Точки А, D, Е, С лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­зать, что тре­уголь­ни­ки АВС и DВЕ по­доб­ны.

б)  Найти пло­щадь ABC, если АС  =   8 и ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен 1.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС из вер­шин А и С опу­ще­ны вы­со­ты АР и CQ на сто­ро­ны ВС и АВ. Из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 18,пло­щадь тре­уголь­ни­ка BPQ равна 2, а длина от­рез­ка РQ равна

а)  До­ка­зать, что тре­уголь­ни­ки QBP и СВА по­доб­ны.

б)  Вы­чис­лить ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и В так, что их цен­тры лежат по раз­ные сто­ро­ны от от­рез­ка АВ. Через точку А про­ве­де­ны ка­са­тель­ные к этим окруж­но­стям АС и АЕ (точка С лежит на пер­вой окруж­но­сти, а точка Е  — на вто­рой). Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка АСВЕ в 5 раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС, BD  — бис­сек­три­са угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).

а)  Найти от­но­ше­ние длин от­рез­ков АВ и ВС.

б)  Найти зна­че­ния чисел p и q, если

Рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки АВС (АВ  =   ВС) и KLM (KM  =   LM) рас­по­ло­же­ны так, что М  — се­ре­ди­на АС, В  — се­ре­ди­на KL, пря­мая KL па­рал­лель­на пря­мой AC. Точки R  — точка пе­ре­се­че­ния KM и АВ, Т  — ВС и МL.

а)  До­ка­зать, что пря­мая RT па­рал­лель­на пря­мой АС.

б)  Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если и пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BTMR равна 24.

От­ре­зок АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти. Точки С и D окруж­но­сти рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой АВ, длины хорд АС и BD равны 2 и 4 со­от­вет­ствен­но. Хорда CD пе­ре­се­ка­ет АВ в точке Е, при­чем

а)  До­ка­зать, что если две хорды окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся, то про­из­ве­де­ние от­рез­ков одной хорды равно про­из­ве­де­нию от­рез­ков дру­гой хорды.

б)  Найти ра­ди­ус окруж­но­сти.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС рас­по­ло­жен от­но­си­тель­но трех кон­цен­три­че­ских окруж­но­стей и ра­ди­у­сов 3, 5 и 6 так, что: 1) ги­по­те­ну­за АВ яв­ля­ет­ся хор­дой и ка­са­ет­ся окруж­но­сти 2) вер­ши­на С при­над­ле­жит окруж­но­сти

а)  Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.

б)  До­ка­зать, что центр окруж­но­стей и вер­ши­на С лежат по раз­ные сто­ро­ны от ги­по­те­ну­зы.

В пра­виль­ный тре­уголь­ник со сто­ро­ной a впи­сан круг. В этот круг впи­сан пра­виль­ный тре­уголь­ник, в ко­то­рый впи­сан круг и так далее.

а)  До­ка­зать, что пло­ща­ди кру­гов об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию.

б)  Най­ди­те сумму пло­ща­дей всех кру­гов.

Пер­вая окруж­ность впи­са­на в тре­уголь­ник АВС и ка­са­ет­ся ВС в точке М. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ВС в точке N и про­дол­же­ний сто­рон АС и АВ.

а)  До­ка­жи­те, что длина МN равна мо­ду­лю раз­но­сти длин АВ и АС.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей от­но­сят­ся как 1 : 3, ВС  =  12, MN  =  4.

Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник ABCDEF. Точка Р  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AF, точка К  — се­ре­ди­на сто­ро­ны АВ.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков DPFE и DPAK равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь общей части че­ты­рех­уголь­ни­ков DPAK и DЕAС, если из­вест­но, что АВ  =  6.

Окруж­но­сти и с цен­тра­ми в точ­ках и со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся друг друга в точке А, при этом лежит на АВ  — диа­метр Хорда ВС пер­вой окруж­но­сти ка­са­ет­ся в точке Р. Пря­мая АР вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что АР  =  DP.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка АВDС, если из­вест­но, что АС  =  4.

Точки М и Р  — се­ре­ди­ны сто­рон ВС и АD вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка АВСD. Диа­го­наль АС про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка МР.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков АВС и АСD равны.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВМ, если из­вест­но, что АВ  =  12, ВС  =  10, а пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка АМСР равна 60.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию АВСD, ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон АВ и СD в точ­ках К и М.

а)  До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов рас­сто­я­ний от цен­тра окруж­но­сти до вер­шин тра­пе­ции равна сумме квад­ра­тов длин бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции АВСD, если из­вест­но, что AK  =  9, ВК  =  4, СМ  =  1.

Дан квад­рат АВСD. На сто­ро­нах АВ и ВС внеш­ним и внут­рен­ним об­ра­зом со­от­вет­ствен­но по­стро­е­ны рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки АВК и ВСР.

а)  До­ка­жи­те, что точка Р лежит на пря­мой DК.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка РКВС, если из­вест­но, что АВ  =  2.

Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка АВСD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Окруж­но­сти и опи­са­ны около тре­уголь­ни­ков АОВ и ВОС со­от­вет­ствен­но. Пусть   — центр окруж­но­сти а O₂  — центр окруж­но­сти

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти а пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка если из­вест­но, что АВ  =  6, ВС  =  8.

В пря­мо­уголь­ни­ке АВСD на сто­ро­не ВС от­ме­че­на точка К так, что ВК  =  2СК.

а)  До­ка­жи­те, что ВD делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка АКС в от­но­ше­нии 3 : 7.

б)  Пусть М  — точка пе­ре­се­че­ния АК и BD, Р  — точка пе­ре­се­че­ния DK и АС. Най­ди­те длину

от­рез­ка МР, если АВ  =  8, ВС  =  6.

Из се­ре­ди­ны D ги­по­те­ну­зы АВ пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС про­ве­ден луч, пер­пен­ди­ку­ляр­ный к ги­по­те­ну­зе и пе­ре­се­ка­ю­щий катет АС. На нем от­ло­жен от­ре­зок DE, длина ко­то­ро­го равна по­ло­ви­не от­рез­ка АВ. Длина от­рез­ка СЕ равна 1 и сов­па­да­ет с дли­ной од­но­го из ка­те­тов.

а)  До­ка­жи­те, что угол АСЕ равен 45 гра­ду­сов

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти равен Окруж­ность ра­ди­у­са ка­са­ет­ся впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти в точке Т, а также ка­са­ет­ся лучей, об­ра­зу­ю­щих угол АСВ. Окруж­но­сти ка­са­ют­ся пря­мой АС в точ­ках К и М.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник КТМ пря­мо­уголь­ный

б)  Най­ди­те тан­генс угла АВС, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна а наи­боль­шей из его сто­рон яв­ля­ет­ся сто­ро­на АС.

Тре­уголь­ник АВС (АВ < АC) впи­сан в окруж­ность. На сто­ро­не АС от­ме­че­на точка Е так, что АЕ  =  АВ. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку СЕ пе­ре­се­ка­ет дугу ВС, не со­дер­жа­щую точки А, в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что АК яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ВАС.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка АВКЕ, если из­вест­но, что АВ  =  5, АС  =  11, ВС  =  10.

В тре­уголь­ни­ке АВС точка D есть се­ре­ди­на АВ, точка Е лежит на сто­ро­не ВС, при­чем От­рез­ки АЕ и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­зать, что

б)  Найти длину сто­ро­ны АВ, если АЕ  =  5, ОС  =  4, а угол АОС равен 120°

АК  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС, при­чем ВК:КС=2:7. Из точек В и К про­ве­де­ны па­рал­лель­ные пря­мые, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ну АС в точ­ках D и F со­от­вет­ствен­но, при­чем AD:FC=3:14.

а)  До­ка­жи­те, что АВ в 2 раза боль­ше AD.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка DBKF, если Р  — точка пе­ре­се­че­ния BD и AK и пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВР равна 27.

Сто­ро­на АВ тре­уголь­ни­ка АВС равна 3, ВС  =  2АС, Е  — точка пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ния бис­сек­три­сы CD дан­но­го тре­уголь­ни­ка с опи­сан­ной около него окруж­но­стью, при­чем DE  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что AE || BC.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны АС.

Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не АВ тре­уголь­ни­ка АВС пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке D. Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ADB, ка­са­ет­ся от­рез­ка AD в точке Р, а пря­мая ОР пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АВ в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ВDОК можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если АВ  =  10, АС  =  8, ВС  =  6.

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС (  — тупой) на вы­со­те ВН как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны АВ и СВ в точ­ках Р и К со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка РК, если из­вест­но, что ВА  =  13, ВС  =  8,

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са BK и на сто­ро­нах BA и BC взяты со­от­вет­ствен­но точки M и P так, что

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AC ка­са­ет­ся окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка MBP.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка MBP, если из­вест­но, что

На сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­ти­ли точку D так, что

а)  До­ка­жи­те, что углы BAD и СВD равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние от­рез­ков бис­сек­три­сы CL тре­уголь­ни­ка ABC, на ко­то­рые ее делит пря­мая BD, если из­вест­но, что

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­на AC боль­ше сто­ро­ны BC. Бис­сек­три­са CL пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке K. На сто­ро­не AC от­ме­че­на точка P так, что

а)  До­ка­жи­те, что точки A, P, L, K лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка APLK, если

На диа­го­на­ли LN па­рал­ле­ло­грам­ма KLMN от­ме­ны точки P и Q, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KP и KQ про­хо­дят через се­ре­ди­ны сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма KLMN к пло­ща­ди пя­ти­уголь­ни­ка MRPQS, где R  — точка пе­ре­се­че­ния KP со сто­ро­ной LM, S  — точка пе­ре­се­че­ния KQ с MN.

Точка M пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC, вер­ши­на A и се­ре­ди­ны сто­рон AB и AC лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AKB и BKM по­доб­ны, где K  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC.

б)  Най­ди­те длину AK, если

Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон AB, AC и BC в точ­ках и со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке Q, ле­жа­щей внут­ри тре­уголь­ни­ка

А)  До­ка­жи­те, что   — бис­сек­три­са угла

Б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О до цен­тра окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник если из­вест­но, что

От­ре­зок AD яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (угол С  =  90°). Окруж­ность ра­ди­у­са про­хо­дит через точки А, С, D и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке E так, что От­рез­ки СЕ и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Бис­сек­три­са AD и вы­со­та BE ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Окруж­ность ра­ди­у­са R с цен­тром в точке О про­хо­дит через вер­ши­ну А, се­ре­ди­ну сто­ро­ны АС и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке K так, что

а)  До­ка­жи­те, что AD делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC в со­от­но­ше­нии

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны BC, если ра­ди­ус окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке ABC, где про­ве­де­на ме­ди­а­на AD и бис­сек­три­са СЕ, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке M. Через M про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная AC и пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и BC в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  Най­ди­те PM.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник PQB.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C тупой, а точка D вы­бра­на на про­дол­же­нии AB за точку B так, что Точка D' сим­мет­рич­на точке D от­но­си­тель­но пря­мой BC, точка D'' сим­мет­рич­на точке D’ от­но­си­тель­но пря­мой AC и лежит на пря­мой BC. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник CBD  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Про­дол­же­ния ме­ди­ан AM и BK тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют опи­сан­ную около него окруж­ность в точ­ках E и F со­от­вет­ствен­но, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB па­рал­лель­на пря­мой CE.

б)  Найти углы тре­уголь­ни­ка ABC.

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­нах AB и BC рас­по­ло­же­ны точки E и D со­от­вет­ствен­но так, что AD  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABC, DE  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABD,

а)  Най­ди­те AC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

В окруж­но­сти с цен­тром в точке О ра­ди­у­са 4 про­ве­де­ны хорда AB и диа­метр AK, об­ра­зу­ю­щий с хор­дой угол В точке B про­ве­де­на ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щая про­дол­же­ние диа­мет­ра AK в точке С.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник OBC  — рав­но­бед­рен­ный

б)  Най­ди­те длину ме­ди­а­ны AM тре­уголь­ни­ка ABC.

Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Окруж­ность с цен­тром в точке O про­хо­дит через вер­ши­ну A, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AC в точке M такой, что

а)  Най­ди­те от­но­ше­ние

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны AB, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 2.

Че­ты­рех­уголь­ник, один из углов ко­то­ро­го равен впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­са и опи­сан около окруж­но­сти ра­ди­у­са 3.

а)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка.

б)  Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Дан тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром ме­ди­а­на На бис­сек­три­се СЕ вы­бра­на точка F такая, что Через точку F про­ве­де­на пря­мая l, па­рал­лель­ная BC.

а)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC до пря­мой l.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии пря­мая l делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC из точки E, рас­по­ло­жен­ной в се­ре­ди­не ка­те­та BC, опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр EL на ги­по­те­ну­зу AB,

а)  Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

На ка­те­те ML пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KLM как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность. Она пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну KL в точке P. На сто­ро­не KM взята точка R так, что от­ре­зок LR пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке Q, при­чем от­рез­ки QP и ML па­рал­лель­ны, и

а)  Най­ди­те от­но­ше­ние

б)  Найти MQ.

Окруж­ность, по­стро­ен­ная на сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Пря­мые СМ и ВN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Точка О  — се­ре­ди­на АР.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ОМN рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ОМN, если из­вест­но, что

В тре­уголь­ни­ке ABC длина AB равна 3, хорда KN окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки AC и BC в точ­ках M и L со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABLM равна 2, а длина LM равна 1.

а)  Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка KNC, опу­щен­ную из вер­ши­ны C.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KNC.

В окруж­ность с цен­тром О впи­сан тре­уголь­ник ABC Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AF угла A этого тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L, а ра­ди­ус AO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке E. Пусть AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что AF  — бис­сек­три­са угла EAH.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка OAL к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка OEFL.

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 6. Пусть E  — точка пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон этой тра­пе­ции. Через точку E и точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции про­ве­де­на пря­мая, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет мень­шее ос­но­ва­ние BC в точке P, а боль­шее ос­но­ва­ние AD  — в точке Q. Точка F лежит на от­рез­ке EC, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая EQ точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния делит ос­но­ва­ния тра­пе­ции по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка EPF.

От­ре­зок KB яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка KLM. Окруж­ность ра­ди­у­са 5 про­хо­дит через вер­ши­ну K, ка­са­ет­ся сто­ро­ны LM в точке B и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну KL в точке A. Из­вест­но, что

а)  Най­ди­те угол K тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM.

Точка M  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к ги­по­те­ну­зе пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ANB и CBM, если

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а BH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что углы ABH и CBO равны.

б)  Най­ди­те BH, если

Окруж­ность ра­ди­у­са ка­са­ет­ся сто­рон AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P и пе­ре­се­ка­ет стро­ну AB в точ­ках M и N (точка N между точ­ка­ми B и M). Из­вест­но, что MP и AC па­рал­лель­ны,

а)  Най­ди­те угол BCA.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKN.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точка M  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB, На ка­те­те BC взята точка K такая, что

а)  До­ка­жи­те, что угол KMC пря­мой.

б)  Пусть N  — вто­рая (по­ми­мо M) точка пе­ре­се­че­ния пря­мой СМ и опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка BMK. Най­ди­те угол АNВ.

В тра­пе­ции ABCD от­но­ше­ние ос­но­ва­ний AD : BC  =  5 : 2. Точка M лежит на AB, пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 20.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка MCD не пре­вос­хо­дит 15.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние AM : MB, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка МСD равна 9.

Вы­со­ты рав­но­бед­рен­но­го ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB  =  BC, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­ре­зок AO  =  5, а длина вы­со­ты AD равна 8.

а)  До­ка­жи­те, что длина сто­ро­ны AC тре­уголь­ни­ка ABC равна вы­со­те, опу­щен­ной на нее из вер­ши­ны B.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AD и CE, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке P. Из­вест­но, что АС  =  26, DE  =  10.

а)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки DEP и ACP.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между се­ре­ди­на­ми от­рез­ков АС и DE.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол А равен 40°, от­рез­ки BB₁ и CC₁  — вы­со­ты, точки B₂ и С₂  — се­ре­ди­ны сто­рон AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пря­мые B₁C₂ и C₁B₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что точки B₁, B₂, С₁ и С₂ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те угол B₁KB₂.

Точки P и Q рас­по­ло­же­ны на сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC так, что BP : PQ : QC  =  1 : 2 : 3. Точка R делит сто­ро­ну AC этого тре­уголь­ни­ка так, что AR : RC  =  1 : 2. Точки S и T  — точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BR с пря­мы­ми AP и AQ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABS и AST равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка PQTS к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

Два оди­на­ко­вых пра­виль­ных тре­уголь­ни­ка АВС и CDE рас­по­ло­же­ны на плос­ко­сти так, что имеют толь­ко одну общую точку С, и угол BCD мень­ше, чем Точка K  — се­ре­ди­на от­рез­ка АС, точка L  — се­ре­ди­на от­рез­ка СЕ, точка М  — се­ре­ди­на от­рез­ка BD.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KLM  — рав­но­сто­рон­ний.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка BD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM равна а сто­ро­на тре­уголь­ни­ка АВС равна 1.

В тре­уголь­ни­ке АВС, пло­щадь ко­то­ро­го равна 2, на ме­ди­а­нах AK и BL и CN взяты со­от­вет­ствен­но точки Р, Q и R так, что АР  =  РК, BQ : QL  =  1 : 2, а CR : RN  =  5 : 4.

а)  До­ка­жи­те, что MR : CN  =  1 : 9.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQR.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC (AB = BC) про­ве­де­ны вы­со­ты AK, BM, CP.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KMP  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка KMP равна 12, а ко­си­нус угла ABC равен 0,6.