СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521206

Прямоугольный треугольник АВС расположен относительно трех концентрических окружностей и радиусов 3, 5 и 6 так, что: 1) гипотенуза АВ является хордой и касается окружности ; 2) вершина С принадлежит окружности .

а) Найти площадь треугольника АВС.

б) Доказать, что центр окружностей и вершина С лежат по разные стороны от гипотенузы.

Решение.

а) Введем координаты так, чтобы центр окружностей был в начале координат, а хорда была параллельна оси и лежала для определенности во 2 и 3 четвертях. Тогда уравнение это поэтому абсциссы точек и находятся так — Пусть Пусть, далее, точка имеет координаты Тогда во-первых а во-вторых:

(теорема Пифагора для треугольника ). Упрощая, получим:

Учитывая находим Значит, точка лежит левее а центр окружностей правее.

Высота из вершины будет равна поэтому площадь треугольника равна

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 188.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники