Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521688
i

В тре­уголь­ни­ке АВС точка D есть се­ре­ди­на АВ, точка Е лежит на сто­ро­не ВС, при­чем BE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на BC. От­рез­ки АЕ и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­зать, что дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: OE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Найти длину сто­ро­ны АВ, если АЕ  =  5, ОС  =  4, а угол АОС равен 120°

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая: дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: DA конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: OE конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: EC, зна­ме­на­тель: CB конец дроби = 1, от­ку­да AO:OE=3:2.

 

б)  Ана­ло­гич­но пунк­ту а) при­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая: дробь: чис­ли­тель: BE, зна­ме­на­тель: EC конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CO, зна­ме­на­тель: OD конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: DA, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = 1, от­ку­да CO:OD=4:1 и OD=1. Кроме того AO=3, OE=2.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка AOC на­хо­дим AC в квад­ра­те =9 плюс 16 плюс 2 умно­жить на 3 умно­жить на 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тогда AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та . Снова при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов к этому тре­уголь­ни­ку, по­лу­чим 9=16 плюс 37 минус 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус \angle OCA, от­ку­да ко­си­нус \angle OCA= дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та конец дроби . На­ко­нец, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка AOD на­хо­дим AD в квад­ра­те =25 плюс 37 минус 55=7, от­ку­да AB=2AD=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 226
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025