Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. O  — точка пе­ре­се­че­ния А₁D и AD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти OB₁C₁ и СЕЕ₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми B₁C₁ и СЕ₁, если из­вест­но, что АВ  =  1, АА₁  =  3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

В  окруж­ность  с  цен­тром  в  точке О  впи­сан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  АВС с ги­по­те­ну­зой  АВ.  На  боль­шем  ка­те­те  ВС взята точка D так, что АС  =  ВD. Точка  Е  — се­ре­ди­на дуги АСВ.  

а)  До­ка­жи­те, что угол CED равен 90°.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка АОDEC, если из­вест­но, что АВ  =  13, АС  =  5.

Га­ли­на взяла в кре­дит 12 млн. руб­лей на срок 24 ме­ся­ца. По до­го­во­ру Га­ли­на долж­на воз­вра­щать банку часть денег в конце каж­до­го ме­ся­ца. Каж­дый месяц общая сумма долга воз­рас­та­ет на 3%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Га­ли­ной банку в конце ме­ся­ца. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые Га­ли­ной, под­би­ра­ют­ся так, чтобы сумма долга умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц. На сколь­ко руб­лей боль­ше Га­ли­на вер­нет банку в те­че­ние пер­во­го года кре­ди­то­ва­ния по срав­не­нию со вто­рым годом?

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние ax² + x + a − 1  =  0 имеет два  раз­лич­ных  дей­стви­тель­ных  корня  x₁ и x₂, удо­вле­тво­ря­ю­щих  не­ра­вен­ству 

Целые числа x, y и z в ука­зан­ном по­ряд­ке об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. 

а)  Могут ли числа  x + 3,  y²  и z + 5 об­ра­зо­вы­вать в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?   

б)  Могут ли числа 5x,  y и 3z об­ра­зо­вы­вать в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

в)  Най­ди­те  все  x,  y и z,  при  ко­то­рых числа  5x + 3,  y² и 3z + 5  будут  об­ра­зо­вы­вать  в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.