СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514882

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми АС и BD впи­сан в окруж­ность.  

а) До­ка­жи­те, что квад­рат диа­мет­ра окруж­но­сти равен сумме квад­ра­тов про­ти­во­по­лож­ных сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка.

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что

Ре­ше­ние.

а) Будем счи­тать, что окруж­ность имеет ра­ди­ус (вве­дем новую еди­ни­цу длины) и центр в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, а диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка па­рал­лель­ны ко­ор­ди­нат­ным осям. Тогда обо­зна­чим ко­ор­ди­на­ты вер­шин так — Имеем:

 

 

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

б) Из пунк­та а) сле­ду­ет, что по­это­му и ра­ди­ус окруж­но­сти равен По тео­ре­ме Пто­ле­мея:

По фор­му­ле для пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка:

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 163.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники