СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514882

Четырехугольник ABCD со взаимно перпендикулярными диагоналями АС и BD вписан в окружность.  

а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что

Решение.

а) Будем считать, что окружность имеет радиус (введем новую единицу длины) и центр в начале координат, а диагонали четырехугольника параллельны координатным осям. Тогда обозначим координаты вершин так — Имеем:

 

 

что и требовалось доказать.

 

б) Из пункта а) следует, что поэтому и радиус окружности равен По теореме Птолемея:

По формуле для площади четырехугольника:

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 163.
Методы геометрии: Метод координат, Теорема Птолемея
Классификатор планиметрии: Треугольники