Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521660
i

Из се­ре­ди­ны D ги­по­те­ну­зы АВ пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС про­ве­ден луч, пер­пен­ди­ку­ляр­ный к ги­по­те­ну­зе и пе­ре­се­ка­ю­щий катет АС. На нем от­ло­жен от­ре­зок DE, длина ко­то­ро­го равна по­ло­ви­не от­рез­ка АВ. Длина от­рез­ка СЕ равна 1 и сов­па­да­ет с дли­ной од­но­го из ка­те­тов.

а)  До­ка­жи­те, что угол АСЕ равен 45 гра­ду­сов

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC имеет точку D своим цен­тром, по­это­му E тоже лежит на этой окруж­но­сти. По усло­вию и тео­ре­ме о впи­сан­ном угле имеем \angle ECA= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle EDA= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По­сколь­ку дуга CE яв­ля­ет­ся ча­стью дуги CA мень­шей 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , то стя­ги­ва­ю­щая ее хорда мень­ше хорды CA. Зна­чит, CE=CB=1, при этом дуга CE равна чет­вер­ти окруж­но­сти. Зна­чит, хорда длины 1 стя­ги­ва­ет дугу 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да \angle BAC=22,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , AC=\ctg 22,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна дробь: чис­ли­тель: \ctg 22,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 синус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 222
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка, Тре­уголь­ни­ки
Источник/автор: (также) ДВИ МГУ, механико-математический факультет, 1984
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025