В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18,площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка РQ равна
а) Доказать, что треугольники QBP и СВА подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
а) Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AC (поскольку 
). Тогда по свойству вписанного четырехугольника (AQPC) имеем:
поэтому треугольники BQP и BCA подобны по двум углам (угол B у них общий).
б) По условию 
поэтому они подобны с коэффициентом 
в частности 
Пусть 
Тогда:
аналогично 
Далее: 
аналогично 
Теперь напишем теорему Пифагора для треугольников APC и 
Вычитая эти уравнения, получим:
Возможны два случая.
1. Имеем: 
Сокращая на 
получим 
откуда 
Тогда:
откуда 
и 
2. Имеем: 
Тогда из начальных уравнений получим:
Если взять 
то треугольник ABC получится тупоугольным, поскольку
Значит, 
Но тогда площадь ABC равна:
поэтому такой случай также невозможен. Это может показаться странным, ведь мы учли все условия с перпендикулярностью. Однако условие о том, что 
в этой системе не учитывалось никак, например.
Ответ: б) 4,5.