СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521177

В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18,площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка РQ равна

а) Доказать, что треугольники QBP и СВА подобны.

б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Решение.

а) Точки и лежат на окружности с диаметром (поскольку ). Тогда по свойству вписанного четырехугольника (AQPC) имеем:

поэтому треугольники и подобны по двум углам (угол у них общий).

 

б) По условию поэтому они подобны с коэффициентом в частности Пусть Тогда:

аналогично Далее: аналогично Теперь напишем теорему Пифагора для треугольников и

 

Вычитая эти уравнения, получим:

Возможны два случая.

1. Имеем: Сокращая на получим откуда Тогда:

откуда и

 

2. Имеем: Тогда из начальных уравнений получим:

 

Если взять то треугольник получится тупоугольным, поскольку

Значит, Но тогда площадь равна:

поэтому такой случай также невозможен. Это может показаться странным, ведь мы учли все условия с перпендикулярностью. Однако условие о том, что в этой системе не учитывалось никак, например.

 

Ответ: б) 4,5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 184.
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники