СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521177

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС из вер­шин А и С опу­ще­ны вы­со­ты АР и CQ на сто­ро­ны ВС и АВ. Из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 18,пло­щадь тре­уголь­ни­ка BPQ равна 2, а длина от­рез­ка РQ равна

а) До­ка­зать, что тре­уголь­ни­ки QBP и СВА по­доб­ны.

б) Вы­чис­лить ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС.

Ре­ше­ние.

а) Точки и лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром (по­сколь­ку ). Тогда по свой­ству впи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка (AQPC) имеем:

по­это­му тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам (угол у них общий).

 

б) По усло­вию по­это­му они по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том в част­но­сти Пусть Тогда:

ана­ло­гич­но Далее: ана­ло­гич­но Те­перь на­пи­шем тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ков и

 

Вы­чи­тая эти урав­не­ния, по­лу­чим:

Воз­мож­ны два слу­чая.

1. Имеем: Со­кра­щая на по­лу­чим от­ку­да Тогда:

от­ку­да и

 

2. Имеем: Тогда из на­чаль­ных урав­не­ний по­лу­чим:

 

Если взять то тре­уголь­ник по­лу­чит­ся ту­по­уголь­ным, по­сколь­ку

Зна­чит, Но тогда пло­щадь равна:

по­это­му такой слу­чай также не­воз­мо­жен. Это может по­ка­зать­ся стран­ным, ведь мы учли все усло­вия с пер­пен­ди­ку­ляр­но­стью. Од­на­ко усло­вие о том, что в этой си­сте­ме не учи­ты­ва­лось никак, на­при­мер.

 

Ответ: б) 4,5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 184.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники