В треугольнике ABC проведена биссектриса BK и на сторонах BA и BC взяты соответственно точки M и P так, что 
а) Докажите, что прямая AC касается окружности, описанной около треугольника MBP.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBP, если известно, что 
а) Обозначим 
Тогда 
и 
поэтому MBPK — вписанный четырехугольник. Заметим далее, что поскольку 
то прямая KC составляет с BK ровно такой же угол, как касательная в точке 
Значит, она и есть касательная.
б) Имеем:
Найдем BK по формуле для биссектрисы:
Найдем 
из треугольника BKC по теореме косинусов. Заметим, что
по свойству биссектрисы. Имеем:
откуда
Тогда
Окончательно: 
Ответ: б) 