Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 526924

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK и на сторонах BA и BC взяты соответственно точки M и P так, что \angle AKM= \angle CKP= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle ABC.

а) Докажите, что прямая AC касается окружности, описанной около треугольника MBP.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBP, если известно, что AB=10, BC=15, AC=20.

Решение.

а) Обозначим \angle AKM=\angle PKC=\alpha. Тогда \angle MKP=180 в степени \circ минус 2\alpha и \angle MKP плюс \angle MBP=180 в степени \circ , поэтому MBPK — вписанный четырехугольник. Заметим далее, что поскольку \angle PKC=\angle PBK, то прямая KC составляет с BK ровно такой же угол, как касательная в точке K. Значит, она и есть касательная.

б) Имеем:

R_{MBP}=R_{BPK}= дробь, числитель — BK, знаменатель — 2 синус \angle BPK = дробь, числитель — BK, знаменатель — 2 синус (\angle PKC плюс \angle PCK) =

 

= дробь, числитель — BK, знаменатель — 2 синус (\angle KBC плюс \angle BCK) = дробь, числитель — BK, знаменатель — 2 синус (180 в степени \circ минус \angle BKC) = дробь, числитель — BK, знаменатель — 2 синус \angle BKC) .

Найдем BK по формуле для биссектрисы:

BK= дробь, числитель — 2, знаменатель — 10 плюс 15 корень из { 10 умножить на 15 умножить на дробь, числитель — 10 плюс 15 плюс 20, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 10 плюс 15 минус 20, знаменатель — 2 }=3 корень из { 6}.

Найдем \angle BKC из треугольника BKC по теореме косинусов. Заметим, что

KC= дробь, числитель — 15, знаменатель — 10 плюс 15 умножить на AC=12

по свойству биссектрисы. Имеем:

225=54 плюс 144 минус 2 умножить на 3 корень из { 6} умножить на 12 умножить на косинус \angle BKC,

откуда

 косинус \angle BKC= минус дробь, числитель — 27, знаменатель — 2 умножить на 3 корень из { 6 умножить на 12}= минус дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 8 корень из { 2 }.

Тогда

 синус \angle BKC= корень из { 1 минус косинус в степени 2 \angle BKC}= дробь, числитель — 5 корень из { 5}, знаменатель — 8 корень из { 2 }.

Окончательно: R= дробь, числитель — 24 корень из { 3}, знаменатель — 5 корень из { 5 }.

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 24 корень из { 3}, знаменатель — 5 корень из { 5 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 198.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Треугольники