Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В остроугольном треугольнике ABC угол А равен 40°, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и С2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2 пересекаются в точке K.
а) Докажите, что точки B1, B2, С1 и С2 лежат на одной окружности.
б) Найдите угол B1KB2.
Решение.
Спрятать критерииа) Заметим, что точки B, C1, B1, C лежат на одной окружности с диаметром BC. Поэтому
Прямые C2B2 и BC параллельны, значит,
Следовательно, точки B1, B2, C1, C2 лежат на одной окружности.
б) В треугольнике AC1C отрезок C1B2 — медиана, проведённая к гипотенузе. Значит,
тогда 
откуда 
В треугольнике AB1B B1C2 — медиана, проведённая к гипотенузе. Значит,
тогда 
Наконец,
Ответ: 60°.