СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511212

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов — в точках P и M.

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK · BK.

б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK = 12, BK = 5.

Решение.

а) Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, r — радиус этой окружности, PBC, MAC. Соединим О с вершинами треугольника А, В и С.

Докажем, что CMOP — квадрат.

По свойству касательной к окружности: OPBC, OMAC. Следовательно, MC || OP, OM || CP, значит, CMOP — параллелограмм.

CMOP — параллелограмм, ∠P = 90°, значит, CMOP — прямоугольник, CMOP — прямоугольник, OM = OP = r, значит, CMOP — квадрат.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки: BK = BP, AK = AM, MC = CP.

То есть 2S(ABC) = AK · BK + S(ABC), откуда: S(ABC) = AK · BK, что и требовалось доказать.

б) Соединим точки M и K, M и P, P и K отрезками. Найдем r.

Очевидно, что

Но как было доказано выше, S(ABC)=AK · BK = 60. Следовательно,

Подходит r = 3.

Пусть ∠BAC = α, тогда:

 

 

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники