Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521105
i

Пер­вая окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВС, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния АС в точке М. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния АС и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон.

а)  До­ка­жи­те, что длина ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся сред­ним гео­мет­ри­че­ским диа­мет­ров пер­вой и вто­рой окруж­но­стей.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если ра­ди­ус пер­вой равен 3, а BM=8.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим: AC=2a, AB=BC=b, тогда AM=a. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен r= дробь: чис­ли­тель: S_ABC, зна­ме­на­тель: p_ABC конец дроби , а внев­пи­сан­ной r_AC= дробь: чис­ли­тель: S_ABC, зна­ме­на­тель: p_ABC минус AC конец дроби . Тогда:

2r умно­жить на 2r_AC= дробь: чис­ли­тель: 4S в квад­ра­те _ABC, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b минус a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4S в квад­ра­те _ABC, зна­ме­на­тель: b в квад­ра­те минус a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AC в квад­ра­те умно­жить на BM в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: BM в квад­ра­те конец дроби =AC в квад­ра­те ,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  В обо­зна­че­ни­ях преды­ду­ще­го пунк­та имеем: b в квад­ра­те минус a в квад­ра­те =64 и 3= дробь: чис­ли­тель: 8a, зна­ме­на­тель: a плюс b конец дроби .

Из вто­ро­го урав­не­ния: 3b=5a, b= дробь: чис­ли­тель: 5a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Под­став­ляя в пер­вое, по­лу­ча­ем: дробь: чис­ли­тель: 25a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус a в квад­ра­те =64, a=6, b=10. Тогда:

r_AC= дробь: чис­ли­тель: BM умно­жить на AM, зна­ме­на­тель: AB плюс AM минус AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =12.

Ответ: б) 12.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 176
Классификатор планиметрии: Внев­пи­сан­ная окруж­ность, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025