Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 521105

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а BM=8.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим:  AC=2a,  AB=BC=b, тогда  AM=a. Радиус вписанной окружности равен  r= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC конец дроби , а вневписанной  r_AC= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC минус AC конец дроби . Тогда:

 2r умножить на 2r_AC= дробь: числитель: 4S в квадрате _ABC, знаменатель: левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка b минус a конец дроби = дробь: числитель: 4S в квадрате _ABC, знаменатель: b в квадрате минус a в квадрате конец дроби = дробь: числитель: AC в квадрате умножить на BM в квадрате , знаменатель: BM в квадрате конец дроби =AC в квадрате ,

что и требовалось доказать.

б) В обозначениях предыдущего пункта имеем:  b в квадрате минус a в квадрате =64 и  3= дробь: числитель: 8a, знаменатель: a плюс b конец дроби .

Из второго уравнения:  3b=5a,  b= дробь: числитель: 5a, знаменатель: 3 конец дроби . Подставляя в первое, получаем:  дробь: числитель: 25a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби минус a в квадрате =64,  a=6,  b=10. Тогда:

 r_AC= дробь: числитель: BM умножить на AM, знаменатель: AB плюс AM минус AC конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 4 конец дроби =12.

Ответ: б) 12.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 176.