а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)   Най­ди­те 

В пря­мой тре­уголь­ной приз­ме АВСА’B’C’, где про­ве­де­но се­че­ние СМN па­рал­лель­но ребру АВ, ко­то­рое делит объем приз­мы по­по­лам (точка М лежит на АА', N  — на ВВ’).

а)  Найти от­но­ше­ние АМ : МА’.

б)  Найти тан­генс угла между плос­ко­стя­ми АВС и СMN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

От­ре­зок АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти. Точки С и D окруж­но­сти рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой АВ, длины хорд АС и BD равны 2 и 4 со­от­вет­ствен­но. Хорда CD пе­ре­се­ка­ет АВ в точке Е, при­чем

а)  До­ка­зать, что если две хорды окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся, то про­из­ве­де­ние от­рез­ков одной хорды равно про­из­ве­де­нию от­рез­ков дру­гой хорды.

б)  Найти ра­ди­ус окруж­но­сти.

Общий при­зо­вой фонд тур­ни­ра по во­лей­бо­лу не менее 37 тыс. руб. Из него вы­пла­чи­ва­ют­ся ко­ман­дам день­ги ку­пю­ра­ми по 1 тыс. руб. по сле­ду­ю­ще­му пра­ви­лу. Ко­ман­да, за­няв­шая 1 место, по­лу­чит по­ло­ви­ну фонда и еще 0,5 тыс. руб.; вто­рая ко­ман­да  — по­ло­ви­ну остав­ших­ся денег и еще 0,5 тыс. руб.; тре­тья  — по­ло­ви­ну остат­ка и еще 0,5 тыс. руб. и т. д. Из­вест­но, что после вы­да­чи денег, в кассе оста­лось не более 4 тыс. руб. Какое ми­ни­маль­ное число ко­манд могло участ­во­вать в тур­ни­ре по этим пра­ви­лам? Сколь­ко при этом было денег в фонде, и сколь­ко по­лу­чи­ла каж­дая ко­ман­да, если из­вест­но, что ку­пю­ры не раз­ме­ни­ва­лись?

За­да­на функ­ция

При каких дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а урав­не­ние имеет на от­рез­ке ровно два корня?

Взяли по­сле­до­ва­тель­ность пер­вых 15 на­ту­раль­ных чисел.

а)  Можно ли эти числа раз­бить на 5 групп так, что бы суммы чисел сто­я­щих в одной груп­пе имели раз­ные остат­ки при де­ле­нии на 5?

б)  Можно ли эти числа раз­бить на 7 групп так, что бы суммы чисел вхо­дя­щих в одну груп­пу имели раз­ные остат­ки при де­ле­нии на 7?

в)  Можно ли эти числа упо­ря­до­чить таким об­ра­зом, что бы суммы любых трех по­сле­до­ва­тель­ных чисел де­ли­лась на 5?