а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB = 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мой CC₁ и пря­мой, про­хо­дя­щей через точку A и па­рал­лель­ной пря­мой CM₁, где M₁  — се­ре­ди­на сто­ро­ны A₁B₁.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств:

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не AB рас­по­ло­же­на точка K так, что AK : KB = 3 : 5. На пря­мой AC взята точка E так, что AE = 2CE. Из­вест­но, что пря­мые BE и CK пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOC равна 20.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два корня.

На плос­ко­сти даны 8 от­рез­ков. Длина каж­до­го от­рез­ка яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, не пре­вос­хо­дя­щим 20. Пусть n – число раз­лич­ных тре­уголь­ни­ков, ко­то­рые можно со­ста­вить из этих от­рез­ков. Один и тот же от­ре­зок может ис­поль­зо­вать­ся для раз­ных тре­уголь­ни­ков, но не может ис­поль­зо­вать­ся два­жды для од­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Может ли n = 60?

б)  Может ли n = 55?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n, если среди дан­ных от­рез­ков нет трех рав­ных.