Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521134
i

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­ро­нах АВ и АС от­ме­че­ны точки C_1 и B_1 со­от­вет­ствен­но, при­чем BC_1:AC_1=1:3, AB_1:CB_1=2:5. Пря­мые BB_1 и CC_1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­жи­те, чтo пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOC в де­сять раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BOC_ 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AB_1OC_1, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка B_1OC равна 150.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ACC_1 и пря­мой B_1OB имеем:

дробь: чис­ли­тель: AB_1, зна­ме­на­тель: B_1C конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CO, зна­ме­на­тель: OC_1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: C_1B, зна­ме­на­тель: BA конец дроби =1,

от­ку­да дробь: чис­ли­тель: CO, зна­ме­на­тель: OC_1 конец дроби =10. От­сю­да и сле­ду­ет нуж­ное утвер­жде­ние, по­сколь­ку вы­со­ты у дан­ных тре­уголь­ни­ков сов­па­да­ют.

б)  По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABB_1 и пря­мой C_1OC имеем:

дробь: чис­ли­тель: AC_1, зна­ме­на­тель: C_1B конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BO, зна­ме­на­тель: OB_1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: B_1C, зна­ме­на­тель: CA конец дроби =1,

от­ку­да дробь: чис­ли­тель: BO, зна­ме­на­тель: OB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби . Тогда:

S_BOC= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби S_B_1OC=70,

 

S_BOC_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби умно­жить на 70=7.

Далее:

дробь: чис­ли­тель: S_ABB_1, зна­ме­на­тель: S_BB_1C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB_1, зна­ме­на­тель: B_1C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

от­ку­да

S_ABB1= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 150 плюс 70 пра­вая круг­лая скоб­ка =88.

Тогда S_AB_1OC_1=88 минус 7=81.

 

Ответ: 81.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 179
Методы геометрии: Тео­ре­ма Ме­не­лая
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025