Точки М и Р — середины сторон ВС и АD выпуклого четырехугольника АВСD. Диагональ АС проходит через середину отрезка МР.
а) Докажите, что площади треугольников АВС и АСD равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, если известно, что АВ = 12, ВС = 10, а площадь четырехугольника АМСР равна 60.
а) Имеем:
Опустим перпендикуляры 
и 
на 
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому 
а тогда и 
Значит, у треугольников ABC и ADC с общим основанием AC одинаковые высоты. Тогда их площади равны.
б) Поскольку у треугольников AMC и APC совпадает основание AC и одинаковы высоты, их площади равны. Значит,
Тогда:
(медиана разбивает площадь треугольника пополам). Тогда:
откуда 
и 
Тогда:
Ответ: 