Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Окружность с центром в точке O проходит через вершину A, касается стороны BC в точке K и пересекает сторону AC в точке M такой, что 
а) Найдите отношение 
б) Найдите длину стороны AB, если радиус окружности равен 2.
Поскольку радиус OK должен быть перпендикулярен BC, K — основание высоты из вершины A, поэтому O — середина высоты. Обозначим за H основание высоты треугольника ABC, проведенной из вершины B. Тогда в равнобедренном треугольнике AOM отрезок OH — высота, поэтому и медиана. Обозначим 
(из того, что 
).
а) Поскольку угол AMK опирается на диаметр окружности, он прямой и прямая KM параллельна прямой BH, поэтому треугольники CKM и CBH подобны с коэффициентом 
откуда 
б) По теореме Пифагора для треугольника OMH получаем
В треугольнике KMA отрезок OH — средняя линия, поэтому 
а из подобия треугольников CKM и CBH следует, что
По теореме Пифагора из треугольника BHC получаем
Вычислим площадь треугольника ABC двумя способами и приравняем полученные выражения.
Значит, 
и
По теореме косинусов для треугольника ABC получаем
поэтому 
Ответ: а) 
б)