ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д15 C4 № 527564 Добавить в вариант

Точка M  — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а)  Докажите, что $\angle CAN=\angle CMN.$

б)  Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если $тангенс \angle BAC= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Четырехугольник AMNC  — вписанный, поскольку

$\angle AMN плюс \angle ACN=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Тогда $\angle CAN=\angle CMN$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу описанной окружности AMNC.

б)  Имеем:

$\angle BNA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CNA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CNA правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \angle CAN=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \angle CMN=\angle BMC,$ $\angle BNA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CNA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CNA правая круглая скобка =$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \angle CAN=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \angle CMN=\angle BMC,$

поэтому треугольники BMC и BNA подобны по двум углам (угол B у них общий). Значит,

$R_ANB:R_CBM=AB:BC= дробь: числитель: 1, знаменатель: синус \angle BAC конец дроби .$

По условию $тангенс \angle BAC= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $синус \angle BAC= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби$ и ответ $5:4.$

Ответ: $5:4.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 270

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь